Variable compleja: Números complejos y límites

Aprende números complejos desde cero
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About This Course

Published 1/2016 Spanish

Course Description

En este curso trataremos las nociones iniciales para un curso de funciones de variable compleja, un curso de gran utilidad para ingenieros y científicos en general por sus grandes aplicaciones en la mayoría de áreas matemáticas, desde la geometría hasta las ecuaciones diferenciales.

En derrotero del curso es el siguiente:

1) Números complejos y sus propiedades: En este primer módulo se definirán los números complejos y sus operaciones usuales de suma y multiplicación, además de las definiciones se mencionarán las propiedades principales, no se harán muchas pruebas en esta primera parte ya que son bastante intuitivas y no muy relevantes en el contenido siguiente como sí lo son las propiedades en sí.

También en este módulo mostraremos la concepción geometrica de los números complejos, su forma polar y exponencial, asi tendremos claridad en las tres maneras en que se consideraran los números complejos en el curso.

Para terminar esta unidad mostraremos el cálculo de raices y potencias de números complejos ilustrando con ejemplos.

2) Regiones del plano complejo (Topología en C): En esta sección mostraremos conceptos escenciales de la topoloía en C, concepos como conjuntos cerrado, abierto, conexo son definidos en esta unidad, y cada uno de estos conceptos van acompañados de ejemplos.

3) Funciones complejas: En este módulo definiremos que es una función de variable compleja y mostraremos ejemplos. También mostraremos cómo una función compleja se puede definir por medio de dos funciones reales llamadas parte real e imaginaria de la función, de esto mostraremos ejemplos.

4) Límites: Esta sección la dedicaremos concepto de límite complejo y sus propiedades. Definiremos límite formalmente, mostraremos su unicidad, y veremos las principales propiedades. Todo se aclarará por medio de ejemplos.

5) Continuidad: Por último analizaremos el concepto de continuidad, mostraremos sus principales propiedades y mediante ejemplos clarificaremos la parte teórica.

What are the requirements?

  • Debes tener claro las operaciones básicas y las propiedades de los números reales.
  • Debes tener claro algunas herramientas básicas del cálculo diferencial, en especial debes saber como calcular un límite y conocer cuando una función real es continua.
  • No es del todo necesario pero ayudaría bastante tener conocimientos acerca de las funciones de dos variables reales.

What am I going to get from this course?

  • Conocer qué es un número complejo.
  • Sumar, multiplicar, restar y dividir números complejos
  • Calcular raices de números complejos
  • Aplicar las propiedades principales del módulo de un número complejo.
  • Calcular límites de funciones de variable compleja.
  • Analizar la continuidad puntual de las funciones variable compleja.

What is the target audience?

  • Este curso está dirigido a personas que estudian ciencias exactas, ingeniería o áreas afín. El curso es un primer curso de variable compleja, básicamente es una introducción al área. Por lo tanto quienes buscan algo avanzado no deberían tomar este curso.
  • Tampoco deben tomar este curso aquellas personas que no posean conocimientos en cálculo diferencial.

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Curriculum

Section 1: Introducción
04:12

Este video es una introducción al contenido del curso.
Aquí se hablará de los ejes centrales del curso de Variable compleja: Números complejos y límites. A continuación los cinco temas principales del curso:
1) Números complejos y sus propiedades: Aquí definiremos los números complejos a partir de lo conocido de los números reales. Mostraremos dos versiones de los números complejos: la forma estándar o binómica y la forma trigonométrica. Mostraremos también el plano complejo y la ubicación de los números complejos en él. Definiremos las operaciones de suma y producto y mostraremos sus principales propiedades. Definiremos el módulo y el conjugado de un número complejo, y mostraremos las relaciones entre ellos. Para terminar mostraremos un método para calcular raíces complejas.
2) Regiones del plano complejo (Topología en C): Aquí definiremos las regiones principales del plano complejo y algunas de sus propiedades. Se definen conjuntos abiertos, cerrados, conexos y dominios; también conceptos como cerradura de un conjunto y vecindades.
3) Funciones de variable compleja: Aquí definiremos qué es una función de variable compleja y mostraremos ejemplos de ellas. También mostraremos la relación que hay entre las funciones de variable compleja y las funciones de dos variables reales. En pocas palabras, veremos que una función de una variable compleja se puede definir completamente a partir de dos funciones de dos variables reales.
4) Límites de funciones de variable compleja: Aquí definiremos límite de una función compleja, mostraremos la unicidad del límite y veremos las principales propiedades siempre realizando sus respectivas pruebas.
5) Continuidad de funciones de variable compleja: Aquí trataremos la continuidad de funciones complejas, nos ayudaremos de lo visto en límites para demostrar las propiedades de este nuevo concepto.
Por último se menciona el hecho de que cada una de las unidades posee un taller de práctica para así interiorizar el conocimiento adquirido.

Section 2: Números complejos y sus propiedades
06:02
En este video definiremos qué es un número complejo, mostraremos cómo los números complejos contienen los números reales y los imaginarios. Y para concluir mostraremos la definición de conjugado de un número complejo. Mostraremos algunos ejemplos de los conceptos aprendidos.
12:53

En este tutorial se definen las operaciones de suma y multiplicación de números complejos, además de definir también sus operaciones similares pero inversas: la resta y la división, para tener una concepción más clara de como se definen. Se dan ejemplos da cada una de las operaciones definidas.

15:13

En este tutorial mostraremos las propiedades básicas de la suma y el producto de números complejos, que son la asociatividad, la conmutatidad, la existencia de neutro tanto aditivo como multiplicativo, la existencia de inverso tanto aditivo como multiplicativo y la distributividad del producto con respecto a la suma. Además para concluir el tutorial mostramos una propiedad que se cumple en los números reales y también en los complejos y es que si el producto de dos números tiene por resultado cero, entonces alguno de los dos números debe ser cero.

09:17
En este video definiremos que se conoce como el plano complejo y la forma en que los números complejos se ubican en él. Además definiremos lo que se conoce como módulo de un número complejo, también llamado norma, y la forma en que se puede calcular operativamente. Para terminar se realizan algunos ejemplos acerca del cálculo del módulo de algunos números complejos.
15:25

En este video mostraremos 8 propiedades básicas que cumple el conjugado de un número complejo, además de enunciar las propiedades mostraremos cada una de sus pruebas para así empezar a crear cierta intuición en el manejo de los números complejos.

18:14

En este video mostraremos 10 propiedades esenciales que cumple el módulo de un número complejo, entre ellas destacan la distribución del módulo con respecto al producto y las desigualdades triangulares, tanto para la suma como para la recta de números complejos. De cada propiedad se mostrará su demostración con el fin de adquirir intuición a la hora de trabajar con números complejos.

09:34

En este video definiremos una nueva forma de ver los números complejos ayudándonos de su representación en el plano. Anteriormente consideramos los números complejos ubicados en el plano cartesiano, ahora los ubicaremos en el plano polar, con el fin de obtener maneras más simples de hallar potencias y raices de números complejos. Además de dar una definición se hará incapié en uno de los errores comunes en los libros y es la manera en que se calcula el argumento principal de un número complejo, por medio de un ejemplo puntual se clarificará esto.

12:40
En este video mostraremos 4 ejemplos en los cuales se hallará la forma polar de números complejos, teniendo en cuenta el uso del argumento principal, para asi darle total claridad al hecho mencionado en el video anterior.
15:51

En este video mostraremos la principal aplicación de la forma polar de un número complejo, que es dar un procedimiento diferente para calcular la multiplicación y división de números complejos. Realmente la parte más importante de esta definición, es poder calcular potencias y raices de números complejos, pero esto lo explicaremos en el siguiente video.

08:29
En este video usaremos lo definido en el video anterior, la multiplicación de números complejos, para definir y al mismo tiempo probar cual es la manera de llevar a cabo la potenciación de números complejos. Para tener claro como se realiza dicha operación se mostrarán dos ejemplos en los cuales se realizará la potencia de un número complejo.
09:41

En este video mostraremos de forma intuitiva como definiremos las raices de un número complejo, se realizará un procedimiento de tipo esbozo de lo que sería un pruba formal, pero teniendo en cuenta detalles que pueden servir a la hora de la solución de problemas.

17:06
En este video realizaremos tres ejemplos en los cuales hallaremos raices de números complejos para asi dejar completamente claro la manera en la cual se deben hacer los cáculos para encontrarlas. Nos daremos cuenta que las raices complejas de un número real no son iguales a las complejas, ya que por ejemplo el número 1 tiene solo una raiz real, el 1, pero tres raices complejas entre ellas el 1.
4 pages

Este taller corresponde al primer tema del curso. Con él podrás practicar todo lo aprendido en esta primera unidad.

Section 3: Regiones del plano complejo (Topología en C)
10:08

A partir de este video comenzaremos a definir herramientas que serán necesarias para empezar a hacer cálculo en el plano complejo.
En este video definiremos una distancia entre números complejos y el concepto de vencidad que usaremos reiterativamente en el cálculo de límites de funciones complejas, también se enuncia el concepto de vencidad o entorno punzado. Por medio de ejemplos se clarifican los conceptos.

09:04
En este videos definiremos primero algunos conceptos bastenate intuitivos como los son los puntos interiores, exteriores y de frontera de un conjunto. Por medio de ejemplos se aclará cada uno de ellos. Luego definiremos qué es el interior de un conjunto y cuando un conjunto es abierto, nuevamente mostraremos con ejemplos específicos a qué se refiere cada concepto.
11:20

En este video seguimos definiendo conceptos básicos de la topología en C, en esta ocación definiremos qué es un punto de acumulación y con ello definiremos lo que se conoce como conjunto cerrado, también mostraremos la relación que hay entre conjuntos abiertos y cerrados. Además de lo anterior definiremos la clausura de un conjunto y daremos una nueva caracterización de los conjuntos cerrados. Por último definiremos lo que comprenderemos por un conjunto acotado. Para todos los conceptos anteriores mostraremos ejemplos que los ilustran.

10:23

En este video siguiendo con las definiciones de las regiones en el plano complejo definiremos tres tipos de conjuntos, los conjuntos conexos, los dominios y los conjuntos compactos, para cada uno mostraremos ejemplos en los cuales veremos que existen conjuntos de ese tipo y que también hay conjuntos que no están en esas clasificaciones.

12:03

En este video comenzaremos mostrando ejemplos que clarifique porque abiertos no es lo contrario a cerrado, es decir, mostraremos ejemplos de conjuntos que son abiertos y cerrados, y conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados.
Luego de esos ejemplos mostraremos cuatro teoremas que nos diran acerca de las uniones e intersecciones de abiertos y cerrados que se puede decir. De estos teoremas haremos bosquejos de pruebas y no seremos muy formales para dar su demostración, ya que para nuestro cometido en este curso no son tan necesarias.

2 pages

Este taller corresponde al segundo tema del curso. Con él podrás practicar todo lo aprendido en esta segunda unidad: Regiones del plano complejo o topología en C.

Section 4: Funciones de variable compleja
05:11

En este video definiremos el concepto de función de variable compleja, que no es más que la adaptación del concepto de función en el campo de los números complejos. Se derán ejemplos que lustren la definición. De aqui en adelante es necesario tener un conocimiento claro del cálculo de límites y de los métodos propios del cálculo diferencial.

08:27
En este video definiremos la parte real e imaginaria de una función compleja, y veremos esto cómo nos ayuda a pasar de definir una función en el plano complejo en el plano complejo a simplemente definir dos funciones reales de dos variables. Esto nos ayudará a la hora de calcular límites complejos, ya que nos permitirá calcular los límites complejos, simplemente calculando límites de funciones reales de dos variables.
2 pages

Este taller corresponde al tercer tema del curso. Con él podrás practicar todo lo aprendido en esta tercera unidad: Funciones de variable compleja.

Section 5: Límites de funciones complejas
10:04
En este video definiremos el concepto de límite y mostraremos su significado geométrico, además probaremos una propiedad muy importante del límite, su unicidad.
11:36
En este video mostraremos tres ejemplos, en dos de ellos mostraremos el uso la definición de límite para probar que el límite de una función es un valor específico. En el tercero mostraremos una función en la cual un límite indicado no existe.
10:20
En este video mostraremos que un límite complejo se puede hallar simplemente hallando dos límites reales. Se hará la prueba de este este hecho, para que formalmente quede claro lo expresado. En el próximo video se harán ejemplos que ilustren lo mostrado aquí.
10:43

En este video mostraremos tres ejemplos en los cuales usaremos el teorema visto anteriormente para calcular limites complejos y es llevar los limites a una parte real y otra imaginaria, ambas tienen términos reales y por tanto el límite se realiza reemplazando.

09:53
En este video enunciaremos las propiedades de los límites y por medio de dos ejemplos mostraremos el uso de ellas. En nuestros próximos videos haremos las pruebas de cada una de ellas.
Section 6: Demostraciones de las propiedades de los límites
05:41
En este video mostraremos la primera de las propiedades de los límites y es que el limite de una función por una constante es la constante por el límite de la función, es decir, las constantes pueden salir del límite.
04:58

En este video mostraremos la prueba de la segunda propiedad de los límites complejos y es que el límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de las funciones.

05:59
En este video mostraremos la prueba de la tercera propiedad de los límites complejos y es que el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de las funciones.
06:46

En este video mostraremos la prueba de la cuarta propiedad de los límites complejos y es que el límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de las funciones, siempre y cuando el límite de la función del denominador sea diferente de cero.

2 pages

Este taller corresponde la cuarta  unidad del curso que habla acerca de los límites de funciones de variable compleja. Con él podrás practicar todo lo aprendido en esta unidad.

Section 7: Continuidad de funciones de variable compleja
05:06
En este video definiremos la noción de continuidad en un punto y con ella definiremos lo que entenderemos por una función continua, esta definición es la misma que la que se tenia para el caso de funciones de variable real. Mostraremos algunos ejemplos de funciones continuas y discontinuas para aclarar así la definición dada.
10:31

En este video definiremos la noción de continuidad en un punto y con ella definiremos lo que entenderemos por una función continua, esta definición es la misma que la que se tenia para el caso de funciones de variable real. Mostraremos algunos ejemplos de funciones continuas y discontinuas para aclarar así la definición dada.

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Instructor Biography

Juan José Ortiz García, Profesor de matemáticas

Juan José lleva completados ocho semestres de la carrera de Matemáticas en la Universidad de Antioquia, una de las mejores y más prestigiosas universidades de Colombia. En la actualidad, adelanta su proyecto de grado en el área de Geometría algebraica, en donde busca utilizar el Teorema de Uniformización aplicado a las curvas Elípticas definidas sobre los números complejos, con el fin de dar una caracterización de dichas curvas en el plano complejo.

Tiene un extenso pasado en la enseñanza de las matemáticas, tanto como tutor privado como de tallerista en las Olimpiadas Matemáticas Regionales organizadas por la Universidad de Antioquia; además, tiene una experiencia significativa en la realización de cursos online.

Hasta ahora, Juan José ha diseñado, grabado y publicado cursos de Lógica y conjuntos, Geometría básica, Geometría analítica y cursos preparatorios para presentar exámenes de admisión para ingresar a las principales universidades públicas de Colombia, dando así un total de más de 1000 vídeos online realizados.

Su considerable experiencia, combinado con su conocimiento del área en que trabaja y su gran interés hacia la docencia, hacen que sus cursos sean de un contenido claro y preciso, siendo así de gran utilidad para aquellos estudiantes, empiristas, e incluso docentes que buscan entender un tema, o aprender a tratarlo y explicarlo de un modo más manejable para el público general.

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