Lógica proposicional básica

Aprende los conceptos básicos de la lógica matemática desde cero
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  • Lectures 33
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About This Course

Published 12/2015 Spanish

Course Description

Un esbozo del contenido del curso es el siguiente:


1. Proposiciones: En este tópico se definirá qué es una proposición, como operan los conectores y los valores de verdad que pueden tomar las proposiciones.



2. Equivalencias lógicas y reglas de inferencia: en este tópico se analizarán las principales equivalencias lógicas y algunas reglas de inferencia que nos permitirán desarrollar deducciones acertadas o correctas. Apoyándonos en lo anterior mostraremos una primera forma de demostrar, la deducción; es decir, a partir de unas hipótesis deducir una consecuencia lógica.



3. Propiedades básicas del cálculo de predicados: En esta sección se analizarán los diferentes tipos de cuantificadores: el existencial, el universal y el existencial único. Se examinará cada uno con cierto detalle; se mostrará como se da la negación de estos y cómo se comportan a la hora de combinar varios de ellos.



Además, analizaremos cómo se mezclan el cálculo proposicional y los cuantificadores, para formar una teoría un poco más general: el cálculo de predicados. Solo se trataran las principales propiedades.



4. Demostraciones: En esta sección se analizarán los métodos más comunes de demostración como lo son la deducción, el contrarrecíproco, reducción al absurdo, la disyunción de casos y la inducción matemática.

What are the requirements?

  • Para este curso no es necesario usar ningún tipo de material extra; tan solo se recomienda un medio para ver los videos, ya sea un computador o un celular o una tablet y, además, un cuaderno o bloc de notas, para hacer anotaciones que considere importantes para la mejor interiorización de conceptos y la realización de ejercicios y problemas.
  • En cuanto a preparación y conocimientos previos, no son realmente muy necesarios; es un curso abierto a personas con nivel académico mayor a primaria, es decir, que se encuentren preferiblemente en secundaría o en la universidad. Sí recomendaría entrar con una mentalidad abierta y dispuesta a entender y aprender a profundidad los conceptos explicados, pues aprender conceptos matemáticos de memoria tiene pocas aplicaciones reales.

What am I going to get from this course?

  • Diferenciar si una sentencia es o no una proposición
  • Conocer el valor de verdad de proposiciones compuestas
  • Utilizar las equivalencias lógicas para probar nuevos enunciados
  • Usar los métodos de demostración más usuales
  • Usar adecuadamente los cuatificadores y hallar su valor de verdad
  • Sentar bases esenciales para enfrentar cursos profesionales relacionados con las matemáticas
  • Aproximarse al pensamiento estructural matemático
  • Usar adecuadamente las hipótesis para dar conclusiones adecuadas y precisas

What is the target audience?

  • El curso de "Lógica y demostraciones" es un curso básico que debe conocer cualquier universitario. Para los futuros ingenieros y científicos es una base para los cursos a los cuales enfrentarán en sus carreras, muchos con gran carga matemática. Para las demás personas es una gran herramienta para forjar un pensamiento dotado por las deducciones y el uso adecuado de las afirmaciones. Los filósofos y aquellos que pretenden construir teorías de cualquier índole deben conocer bien el uso de la lógica y la forma adecuada de demostrar sus postulados, es así como tenemos un curso realmente esencial. Este curso fue creado principalmente para suplir las necesidades de un curso de matemáticas discretas en cuanto lo que se refiere a lógica, sin embargo, como ya lo he mencionado anteriormente el curso es básico para cualquier universitario.

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Curriculum

03:50
En este video introduciremos el curso, qué tiene curso y hacía qué personas va dirigido.
6 pages

Con la ayuda de los tutoriales que encontrarás en este curso serás capaz de resolver el siguiente taller práctico. Resolviéndolo podrás dar cuentas de lo aprendido en el curso. El taller está divido por cada sección del curso, siendo más sencillo saber cuales herramientas de las aprendidas puedes usar para atacar los problemas. Espero que sea de bastante utilidad.

Section 1: Proposiciones
07:20
En este tutorial se define qué es una proposición y a través de ejemplos se clarifica el concepto, es decir, se muestran ejemplos de algunos enunciados que son proposiciones y otros que no lo son.

Además de la definición de proposición, en este tutorial se muestran los dos tipos de proposiciones: simples y compuestas.
10:19

En este tutorial se da comienzo al tema de los conectores lógicos, que son los que nos permiten crear proposiciones compuestas. En este caso se comienza definiendo la conjunción y la disyunción para posteriormente mostrar su tabla de verdad que nos permitirá de una forma gráfica identificar el valor de verdad de una proposición compuesta con el uso de estos conectores. A través de ejemplos se muestra el uso de la tabla en casos específicos.

10:34
En este tutorial se define el conector negación y se muestra su tabla de valores de verdad. Además se realiza un ejemplo en el que se muestra el uso de dicha tabla en una situación cotidiana. También en este tutorial se define cuál es el conector implicación y qué es una condición necesaria y se dan ejemplos para clarificar el concepto.
10:07

En este tutorial se define qué es una condición suficiente y se dan ejemplos de ella para clarificar el concepto. Además siguiendo con el video anterior y como se ha hecho para los demás conectores, se define la tabla de verdad para el conector implicación y se muestra su uso en casos particulares por medio de ejemplos.

12:51

En este tutorial se define el conector bicondicional o doble implicación, se muestra su tabla de verdad y su uso por medio de ejemplos. Además de esto se define cuando dos proposiciones van a ser consideradas equivalentes o “iguales" de manera lógica.

05:24
En este tutorial se muestra por medio de dos ejemplos simples cómo se realiza una tabla de valores de verdad para proposiciones compuestas.
11:57

Continuando con el tutorial anterior, en este tutorial se muestran dos ejemplos más de cómo se realiza una tabla de valores de verdad para proposiciones compuestas.

09:12


En este tutorial se muestran varios ejemplos en los cuales se encontrarán los valores de verdad de algunas proposiciones. Se debe recalcar que este no es el caso de los tutoriales anteriores, ya que las tablas de verdad nos dan todos los posibles valores de verdad, mientras que en este tutorial solo pretendemos encontrar un valor de verdad específico.

08:32
En este tutorial se definen los conceptos de tautología y contradicción, dos conceptos de gran importancia en el ámbito de la lógica y las matemáticas en sí. Se muestran ejemplos para aclarar los conceptos.
9 questions

Esta será una evaluación de los temas correspondientes a la primera unidad del curso, es decir las definición de proposición sus clases y valores de verdad, las tablas de verdad y el paso del lenguaje simbólico al lenguaje cotidiano, y para terminar las tautologías y contradicciones.

Section 2: Equivalencias y reglas de inferencia
13:38
En este video se muestran algunas de las principales equivalencias lógicas, equivalencias que nos ayudarán a probar y generar nuevas tautologías. En este video, mostraremos cuatro bloques de equivalencias: el primero, compuesto de una sola equivalencia que es la doble negación; el segundo, tiene que ver con la conmutatividad de ciertos conectores lógicos; el tercero tiene que ver con la asociatividad de algunos conectores lógicos y, por último, tenemos un par de equivalencia que tienen que ver con la distribución de la conjunción con respecto a la disyunción, y viceversa.
06:43
En este tutorial se muestran algunas de las principales equivalencias lógicas, equivalencias que nos ayudarán a probar y generar nuevas tautologías. En este video, mostraremos cuatro bloques de equivalencias: el primero, compuesto de una sola equivalencia que es la doble negación; el segundo, tiene que ver con la conmutatividad de ciertos conectores lógicos; el tercero tiene que ver con la asociatividad de algunos conectores lógicos y, por último, tenemos un par de equivalencia que tienen que ver con la distribución de la conjunción con respecto a la disyunción, y viceversa.
10:33
En este tutorial se muestra a través de dos ejemplos cómo se usan las equivalencias lógicas mostradas en los videos anteriores para probar otras equivalencias.
04:55
En este tutorial se muestran dos equivalencias lógicas de bastante relevancia, que tienen que ver con la eliminación de un término en una proposición; en uno de los casos se puede eliminar una tautología en una conjunción, y en segundo lugar, se puede eliminar una contradicción en una disyunción.
12:55
En este tutorial se muestran las principales reglas de inferencia que nos permitiran junto con las equivalencias lógicas llevar a cabo deducciones de manera adecuada o lógicamente correctas. En medio del video se muestran las tablas de verdad de algunas de ella para mostrar que realmente son tautologia. Se menciona el sentido formal acerca de por qué el antecedente en una implicación verdardera es una condicón suficiente y el consecuente es una condición necesaria.
10:53
En este tutorial se define que es una deducción lógica y se muestra su significado en la vida cotidiana. Además de esto se enuncia una proposición que nos va permitir probar que una implicación es una tautología mediante el uso de las deducciones lógicas. Se mostrarán además dos ejemplos en los cuales se aplicará el método de deducciones para probar tautologías.
Section 3: Cálculo de predicados
10:43
En este tutorial se definen dos cuantificadores lógicos, el existencial y el universal. Se llega a la definición de estos y la necesidad de sus uso por medio de ejemplos.
05:42
En este tutorial se muestra la necesidad de la elaboración de un nuevo concepto: el cuantificador acotado. A través de algunos ejemplo se muestra su uso y ante todo se una definición precisa de dos ciuantificadores típicos el existencial y el universal.
05:01
En este tutorial se define el cuantificador existencia única y a por medio de un ejemplo se explica la manera en que se debe llevar a cabo una prueba que lo involucre. Este es solo un ejemplo que se explicará someramente, ya que al tema de las demostraciones le dedicaremos el último módulo.
09:45
En este tutorial se define el cálculo de predicados, y se muestran algunas de sus propiedades principales que tienen que ver con el cambio de cuantificadores acotados a cuantificadores sencillos y, además, laforma en que se ve esquematicamente una existencia única. No se hacen pruebas formales de las propiedades mostradas pero se dice de manera no formal su significado.
08:21
En este tutorial se muestra como se hace la negación de un cuantificador, en el video se muestran tan solo dos de las propiedades que tienen que ver con la negación de los cuantificadores acotados, las demás no se hacen pruebas pero se indica la manera en que se cumplen de manera no formal. Los ejemplos de estas propiedades son dejados para hacerlos en el próximo video, en un video independiente.
16:32
En este tutorial se muestra, a través de cuatro ejemplos, como se realiza la negación de un predicado el cual involucra algún tipo de cuantificador.
12:04

En este tutorial se muestran algunas propiedades que cumplen los cuantificadores anidados, esas propiedades son las que tienen que ver con el intercambio de cuantificadores. Las propiedades se deducen de algunos ejemplos dados, ya que las demostraciones de estas propiedades no se harán formalmente.

Section 4: Métodos de demostración
09:09

En este tutorial se define qué es una demostración y además sus partes: hipótesis y tesis. Se dan algunos ejemplos para aclarar las definiciones. En el tutorial, también se muestra un esquema en el cual se puede observar el por qué de nombrar teoremas con ciertos nombres específicos como lema o corolario.

05:53

En este tutorial se muestran dos formas no muy usadas pero si bastante útiles para demostrar algunos enunciados, estas formas son la vacuidad y la trivialidad. Ambas enmascaran en si mismas pasos que son de cierta manera tontos o muy triviales, por lo que en general no son mencionadas.

13:59
En este video se muestra el método directo de demostración, de él se muestran tres facetas, una en que se tiene un enunciado en forma de proposición, otra en que se haya un cuantificador universal y, por último, una en la que se haya un existencial. Para cada una de estas facetas se muestra un ejemplo para clarificar el procedimiento que se debe llevar a cabo para concluir la demostración.
07:45

En este tutorial se muestra el método del contrarrecíproco y un esbozo de porque se da su uso. Para aclarar la forma de ser usado se realizan dos ejemplos ilustrativos.

14:20

En este tutorial se muestra el método de reducción al absurdo y se muestra el procedimiento que debe de ser usado para demostrar por medio de él. Para aclarar el modo de proceder se realizan dos ejemplos, uno de las cuales es la demostración de por qué raiz de 2 no es un número racional.

08:46

En este tutorial mostraremos el método de disyunción de casos, en el se muestra como se realiza una prueba si tenemos varios casos de los cuales debemos sacar una conclusión. Por medio de dos ejemplos mostraremos el uso del método.

05:19
En este tutorial se muestra un método por medio del cual se puede probar un enunciado que tiene la forma de una doble implicación. Por medio de un ejemplo se clarifica como se realiza su uso.
13:56

En este tutorial se muestra el método de inducción matemática con el cual se pueden probar propiedades que se cumplen sobre los números naturales. Por medio de dos ejemplos se muestra el funcionamiento del método; el primero tiene que ver con la suma de los n primeros números enteros; el segundo tiene que ver con la suma de los cuadrados de los primeros números enteros.

09:47
En este tutorial concluimos el tema de la inducción matemética y con ello el módulo de demostraciones. En el video podemos encontrar la explicación de cómo probar un enunciado del tipo un propiedad se cumple para todo natural mayor o igual a a, donde a es un número natural. Por medio de dos ejemplos se clarifica el uso del método.

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Instructor Biography

Juan José Ortiz García, Profesor de matemáticas

Juan José lleva completados ocho semestres de la carrera de Matemáticas en la Universidad de Antioquia, una de las mejores y más prestigiosas universidades de Colombia. En la actualidad, adelanta su proyecto de grado en el área de Geometría algebraica, en donde busca utilizar el Teorema de Uniformización aplicado a las curvas Elípticas definidas sobre los números complejos, con el fin de dar una caracterización de dichas curvas en el plano complejo.

Tiene un extenso pasado en la enseñanza de las matemáticas, tanto como tutor privado como de tallerista en las Olimpiadas Matemáticas Regionales organizadas por la Universidad de Antioquia; además, tiene una experiencia significativa en la realización de cursos online.

Hasta ahora, Juan José ha diseñado, grabado y publicado cursos de Lógica y conjuntos, Geometría básica, Geometría analítica y cursos preparatorios para presentar exámenes de admisión para ingresar a las principales universidades públicas de Colombia, dando así un total de más de 1000 vídeos online realizados.

Su considerable experiencia, combinado con su conocimiento del área en que trabaja y su gran interés hacia la docencia, hacen que sus cursos sean de un contenido claro y preciso, siendo así de gran utilidad para aquellos estudiantes, empiristas, e incluso docentes que buscan entender un tema, o aprender a tratarlo y explicarlo de un modo más manejable para el público general.

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