Variable compleja para métodos matemáticos. Parte 2

Todo lo que necesitas para aprender y aprobar tu asignatura de métodos matemáticos.
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Variable compleja para métodos matemáticos. Parte 2
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Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Los problemas de reversibilidad en funciones no inyectivas
La función exponencial compleja, tanto la deducción de su fórmula como los mapeos que produce
Deducción de la fórmula para la función rama principal del logaritmo complejo "Log(z)"
Deducción de la fórmula para la función logaritmo multivaluado complejo "log(z)"
Función valor principal del logaritmo
Mapeos y transformaciones de regiones del plano complejo bajo los distintos tipos de función logaritmo
Ramas y cortes de ramificación en los distintos tipos de función logaritmo
Aplicación de las funciones logaritmo a regiones nacidas de aplicaciones de raíces complejas
Trasformaciones de Möbius en general y en detalle.
Mapeos de regiones tras aplicar transformaciones de Möbius
La transformada inversa de Möbius
Diseño de aplicaciones de Möbius para obtener un cierto conjunto partiendo de una región determinada del plano complejo
La función inversa y su poder para transformar círculos y rectas
Definicion de la derivada compleja como un límite
Derivación de funciones usando la idea del límite
Implicaciones y detalles sobre la continuidad de funciones complejas
Deducción de las fórmulas de Cauchy-Riemann en coordenadas cartesianas y polares
Aplicaciones de las fórmulas de Cauchy-Riemann
Derivación de funciones complejas usando Cauchy-Riemann
Funciones holomorfas, derivables, analíticas y enteras
Deducción de las fórmulas de las funciones armónicas y armónicas conjugadas
Aplicaciones de las funciones armónicas y armónicas conjugadas
Resolución de muchos ejercicios de tipo examen
La historia del número i

Requirements

  • Matemáticas de bachillerato y haber seguido la "parte 1" de este curso
Description

En el curso de "Variable Compleja para Métodos Matemáticos" (compuesto de dos partes; la 1 y la 2) encontrarás el temario de variable compleja que habitualmente se requiere para aprobar el primer curso académico en los grados de cualquier ingeniería, física y matemáticas.
El curso total intercala 70 vídeos de teoría con 83 vídeos de resolución de ejercicios paso a paso y 21 vídeos de apéndices. Gran parte de los ejercicios propuestos son de nivel similar y superior a los que puedes encontrar en cualquier examen de un grado oficial. Se incluye un pdf con todos los enunciados y respuestas para facilitar el repaso de los ejercicios.

El curso ofrece no sólo un punto de vista analítico de los conceptos, sino que lo complementa con uno geométrico. Con ello se adquiere una idea más sólida de los temas tratados. Éste es uno de sus puntos fuertes, ya que a día de hoy no es una información fácil de encontrar ni en libros de texto universitarios ni en internet

En las lecciones y ejercicios se explican no sólo los razonamientos correctos, sino también aquellos que los estudiantes suelen utilizar de forma errónea. En esta asignatura es habitual creer que se ha entendido algo cuando en verdad no es así. Hacer hincapié en los errores que se suelen cometer es una buena manera de chequear lo que se ha entendido.
Los contenidos se presentan en los siguientes bloques:

PARTE 1

1- Números complejos. Operaciones elementales y propiedades: aquí veremos todas las maneras de escribir un número complejo. Aprenderemos a calcular módulos y argumentos. Estudiaremos la diferencia entre argumento y argumento principal y comenzaremos a realizar algunas operaciones sencillas. 
Demostraremos todos los pasos por sencillos que sean para ir adquiriendo soltura a la hora de expresar nuestro pensamiento de manera matemática. Para ello comenzaremos a introducir el punto de vista geométrico, que nos acompañará hasta el final del curso.
Aprenderemos a utilizar herramientas poderosas de esta asignatura que bien podremos usar en otras, como las aplicaciones de la fórmula de De Moivre.

2- Raíces enésimas. Ramas. Cortes de ramificación: introduciremos esta parte deduciendo una fórmula para el cálculo de las raíces enésimas de un número complejo. Atenderemos a la geometría de los resultados a partir de múltiples ejercicios.
Después comprenderemos qué es una función multivaluada y discutiremos las posibles maneras que hay para representar las funciones complejas, ya que éstas poseen 4 dimensiones y éso dificulta un poco su representación. 
Ello nos dará paso al estudio de los conceptos de corte de ramificación y rama, para los cuales tendremos que asimilar las ideas de continuidad  y límite en variable compleja.
Luego volverá a haber una buena cantidad de ejercicios. Ésta será una sección densa de la que aprender muchísimo. Aquí será la primera vez que encontremos ejercicios de un nivel más complicado al presentado en muchos exámenes, lo cual nos ayudará bastante para el día que nos examinemos.

3- Módulos, conjugados, desigualdades y regiones: la mayoría de los ejercicios de examen de regiones tienen que ver con comprender muy bien las propiedades de los módulos, conjugados y desigualdades triangulares, así que ésto será lo primero en lo que profundizaremos. Después de ello estaremos en condiciones de hablar de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación, conjuntos abiertos, cerrados, ni cerrados ni abiertos o cerrados y abiertos simultáneamente, conjuntos conexos, acotados etc. Como siempre, habrá ejercicios. Podréis comprobar que los propuestos en este bloque son muy sencillos. Los ejercicios más complejos sobre regiones se encontrarán más adelante relacionados con las funciones exponenciales, logarítmicas y transformaciones de Möbius, ya que es como se suele evaluar el conocimiento sobre este tema en los exámenes.

PARTE 2

1- La función exponencial compleja: esta sección empezará explicando conceptos que nos serán de mucha ayuda a partir de este punto. Hablaremos de qué es una función biyectiva, inyectiva, sobreyectiva y del problema de la reversibilidad en funciones no inyectivas. Después deduciremos una fórmula para la función exponencial y veremos su representación geométrica. 
Los ejercicios propuestos serán de nivel examen y superior. A partir de este momento las representaciones gráficas se convertirán en una de nuestras herramientas más preciadas. Veremos cómo un ejercicio que se muestra bastante complicado bajo un enfoque analítico puede convertirse en una pregunta relativamente fácil de contestar utilizando un punto de vista gráfico.

2- La función logaritmo complejo: este bloque será el más complejo. Los logaritmos integrarán todo lo referente a las ramas y al corte de ramificación estudiado ya en el bloque de las raíces y tendremos que recordad el problema de la reversibilidad en funciones no inyectivas. Deduciremos las fórmulas para la función rama principal del logaritmo "Log(z)" y para la función logaritmo multivaluada "log(z)". Veremos como expresar una determinada rama y la compararemos con la manera en que describíamos la rama de una raíz enésima. Entraremos en detalle en qué es el factor "n" del logaritmo multivaluado y finalmente hallaremos una fórmula para la función  " Valor Principal del logaritmo" expresada también como  "Log(z) ".
Los ejercicios propuestos tendrán nivel de examen y superior. Algunos de ellos serán particularmente completos.Para realizarlos necesitaremos aplicar todo lo que sabemos hasta este punto, pues habrá que graficar ramas de la función logaritmo multivaluado de una región inicial, que a su vez será alguna rama de una raíz enésima de alguna porción del plano complejo, así como calcular límites. De aquí aprenderemos mucho no sólo de logaritmos complejos, sino de cómo utilizar el lenguaje matemático para expresar ideas.

3- Transformaciones de Möbius y el infinito en variable compleja: esta sección supondrá una cierta bajada de intensidad respecto a la anterior pues su nivel de dificultad es, en comparación, bajo. 
Comenzaremos con un enfoque superficial de qué son las transformaciones de Möbius, con intención de aprender lo básico para poder enfrentarnos a ejercicios de examen. Luego entraremos más en detalle y miraremos a la transformación de Möbius como un conjunto de transformaciones más simples. Éso nos llevará a prestarle especial atención a la función inversa (1/z). Mediante ejercicios podremos comprobar su poder para transformar rectas en círculos etc. En este último punto participarán fuertemente nuestros conocimientos sobre las propiedades del módulo y del conjugado y los usaremos para realizar cálculos realmente curiosos.Después demostraremos por qué la restricción que caracteriza a toda transformación de Möbius ha de existir y ser como es. Por último, deduciremos una fórmula para construir la transformada inversa de Möbius.
Los ejercicios que se realizarán tras la teoría serán de nivel examen y superior. Aprenderemos a encontrar una región resultado de aplicar una transformación de Möbius a un conjunto inicial de números complejos. Si el enunciado nos ofrece la región producto de una transformación de Möbius, veremos cómo hallar la región inicial mediante caminos distintos de manera que uno de ellos se basará en la utilización de la transformada inversa de Möbius. También tendremos que construir una transformación de Möbius a la carta y mezclaremos logaritmos con transformaciones de Möbius. Durante todo este camino aprenderemos a interpretar el infinito en variable compleja. 

4- Más sobre límites, continuidad y cálculo diferencial. Cauchy-Riemann: aunque llegados a este punto ya sabremos qué es un límite en variable compleja,profundizaremos algo más al utilizarlo como herramienta clave para derivar funciones complejas. Relacionaremos continuidad y derivabilidad. Aprenderemos a calcular derivadas con diferentes herramientas. Primeramente usando la definición de límite y luego sin ella.
Los ejercicios propuestos son de nivel examen e inferior. Serán muy útiles para reforzar nuestros conocimientos sobre las propiedades del módulo y el conjugado y ver cómo aplicarlo para resolver límites en variable compleja

5- Funciones derivables, analíticas, holomorfas, armónicas y armónicas conjugadas: estudiaremos y veremos las diferencias entre las funciones mencionadas. Clasificaremos ejemplos en diferentes tipos de función.  Los ejercicios serán de nivel examen y superior. A través de ellos profundizaremos algo más en las ecuaciones de Cauchy-Riemann, encontrando una expresión en forma polar. Atenderemos a errores de entendimiento que los alumnos suelen cometer al estudiar el teorema que relaciona funciones armónicas conjugadas y derivabilidad. Aprenderemos a construir funciones analíticas según las condiciones de un enunciado etc.

6- Apéndices: aquí se encontrarán vídeos complementarios al curso y se podrán ver a gusto del estudiante.
 Se expondrá una demostración paso a paso de las ecuaciones de Cauchy-Riemann así como de las fórmulas para derivar sin utilizar la definición de límite. Lo mismo se hará para la fórmula de Euler etc
Luego habrá un conjunto de vídeos cuya temática suele estar fuera del temario exigido en un grado, ya que hablaremos de cómo apareció la unidad imaginaria. No obstante, a lo largo de esos vídeos se podrán aprender cosas muy interesantes que tal vez nunca se tocaron en el instituto. Así, aparte de interés histórico, se expondrán formas de enfocar las matemáticas a través de las batallas a las que los matemáticos de aquel momento se enfrentaron, lo cual sin duda es algo muy útil para cualquier asignatura de una carrera de ciencias.

Who this course is for:
  • Estudiantes de ingenierías, física o matemáticas
Curriculum
6 sections93 lectures16h 13m total length
  • Introducción
  • Función Inyectiva
  • Función Sobreyectiva
  • Función Biyectiva
  • El problema de la Reversibilidad en funciones No Inyectivas
  • La Función Exponencial I. Mapeo de un punto
  • La Función Exponencial II. Elevar un número a una función de "z"
  • La Función Exponencial Compleja III. Mapeo de una región
  • Ejercicio 042
  • Ejercicio 043
  • Ejercicio 044
  • Ejercicio 045
  • Ejercicio 046
  • Ejercicio 047
  • Ejercicio 048
  • Funcion Logaritmo I
  • Funcion Logaritmo II. Fórmula de Log (z) y log (z)
  • Función Logaritmo III. Detalle de las fórmulas
  • Función Logaritmo IV. Corte de Ramificación de Log y cómo expresar la Rama
  • Función Logaritmo V. log y cómo expresar cualquiera de sus infinitas ramas
  • Función Logaritmo VI. Mapeo de Log (z)
  • Funcion Logaritmo VII. Mapeo de log (z). Lo que "n" NO es
  • Función Logaritmo VIII. Mapeo de las ramas de log (z). Lo que "n" SÍ es
  • Funcion Logaritmo IX. Diferencia entre Valor Principal y Rama Principal
  • Función Logaritmo X. Función "log (z)" usando el Valor Principal "Log (z)"
  • Ejercicio 049
  • Ejercicio 050
  • Ejercicio 051
  • Ejercicio 052
  • Ejercicio 053
  • Ejercicio 054
  • Ejercicio 055
  • Ejercicio 056. Parte 1
  • Ejercicio 056. Parte 2
  • Transformaciones de Möbius. Qué son
  • Transformaciones de Möbius. Ejemplo y concepto de Infinito
  • ¿Por qué "Ad - Bc" ha de ser distinto a cero?
  • ¿De qué transformaciones se compone Möbius?
  • El poder de la función inversa. De círculo a círculo
  • El poder de la función inversa. De círculo a recta
  • Ejercicio 057
  • Ejercicio 058
  • La Transformación Inversa de Möbius
  • Ejercicio 059
  • Ejercicio 060
  • Ejercicio 061
  • Ejercicio 062
  • Ejercicio 063
  • La Derivada Compleja como un Límite
  • Derivabilidad de una función mediante el cálculo del límite
  • Ser Derivable implica ser Continua. Lo recíproco NO es cierto
  • Ejercicio 064
  • Ejercicio 065
  • Ejercicio 066
  • Ejercicio 067
  • Ejercicio 068
  • Ejercicio 069
  • Cauchy - Riemann. Saber si una función es Derivable Sin utilizar el Limite
  • Hallar la Derivada Sin calcular el límite
  • Ejercicio 070
  • Ejercicio 071
  • Ejercicio 072
  • Función Derivable, Holomorfa, Analítica y Entera
  • Funciones Armónicas y Armónicas Conjugadas
  • Ejercicio 073
  • Ejercicio 074
  • Ejercicio 075
  • Ejercicio 076
  • Ejercicio 077
  • Ejercicio 078
  • Ejercicio 079
  • Ejercicio 080
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? I. Del Ferro y la cúbica reducida. Parte1
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? I. Del Ferro y la cúbica reducida. Parte2
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? I. Del Ferro y la cúbica reducida. Parte3
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? II. Lo que Del Ferro No vió. Parte 1
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? II. Lo que Del Ferro No vió. Parte 2
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? III. Cardano, una nueva esperanza. Parte1
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? III. Cardano, una nueva esperanza. Parte2
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? IV. Cardano y la Cúbica General. Parte 1
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? IV. Cardano y la Cúbica General. Parte 2
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? V. Interludio Imaginario
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? VI. El Desafío De Cardano
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? VII. Victoria Irreducible. Parte 1
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? VII. Victoria Irreducible. Parte 2
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? VIII. Siempre es un detallito. Parte 1
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? VIII. Siempre es un detallito. Parte 2
  • ¿Qué indujo a descubrir los Complejos? IX. El número i
  • La Fórmula de Euler. Parte 1
  • La Fórmula de Euler. Parte 2
  • ¿Por qué el módulo es el radio de una diferencia?
  • ¿Cuál es la inversa de la tangente? Diferencia entre Arcotangente y Cotangente
  • Demostración de las ecuaciones de Cauchy-Riemann y de las Fórmulas para Derivar

Instructor
Licenciado en Ciencias
Juan Ballesteros Peña
  • 4.9 Instructor Rating
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  • 2 Courses

Este curso lo hemos realizado entre 2 personas: 

Juan Ballesteros Peña: licenciado en Ciencias Ambientales (Universidad de Alcalá de Henares), estudiante del grado en Física (Universidad Nacional a distancia). Profesor de Ciencias de bachillerato. Siempre he trabajado dando clases. He pasado por centros españoles, clases particulares y colegios internacionales en países como Thailandia. 

Marc Meléndez Schofield: licenciado en Ciencias Físicas. Máster y doctorado en Sistemas Complejos y termodinámica fuera del equilibrio.  Actualmente investigador en la Universidad Autónoma de Madrid.