Variable compleja para métodos matemáticos. Parte 1

Todo lo que necesitas para aprender y aprobar tu asignatura de métodos matemáticos.
Rating: 4.9 out of 5 (103 ratings)
4,966 students
Variable compleja para métodos matemáticos. Parte 1
Rating: 4.9 out of 5 (103 ratings)
4,966 students
3 formas de expresar un número complejo
Argumento y argumento principal
Operaciones con números complejos
Potencias y De Moivre
Interpretaciones geométricas en el plano complejo
Transformaciones en el plano complejo
Deducción de las fórmulas para las raíces complejas
Funciones complejas y su representación en el plano
Funciones multivaluadas reales y complejas
Concepto del corte de ramificación
Introducción a los límites y continuidad en variable compleja
Aplicación de los cortes de ramificación en raíces complejas
El conjugado y la demostración de sus propiedades
El módulo y la demostración de sus propiedades
Regiones
Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, conexos, puntos de acumulación etc
Mapeos de todo lo anterior
Resolución de ejercicios de examen

Requirements

  • Matemáticas de bachillerato
Description

En el curso de "Variable Compleja para Métodos Matemáticos" (compuesto de dos partes; la 1 y la 2) encontrarás el temario de variable compleja que habitualmente se requiere para aprobar el primer curso académico en los grados de cualquier ingeniería, física y matemáticas.
El curso total intercala 70 vídeos de teoría con 83 vídeos de resolución de ejercicios paso a paso y 21 vídeos de apéndices. Gran parte de los ejercicios propuestos son de nivel similar y superior a los que puedes encontrar en cualquier examen de un grado oficial. Se incluye un pdf con todos los enunciados y respuestas para facilitar el repaso de los ejercicios.

El curso ofrece no sólo un punto de vista analítico de los conceptos, sino que lo complementa con uno geométrico. Con ello se adquiere una idea más sólida de los temas tratados. Éste es uno de sus puntos fuertes, ya que a día de hoy no es una información fácil de encontrar ni en libros de texto universitarios ni en internet

En las lecciones y ejercicios se explican no sólo los razonamientos correctos, sino también aquellos que los estudiantes suelen utilizar de forma errónea. En esta asignatura es habitual creer que se ha entendido algo cuando en verdad no es así. Hacer hincapié en los errores que se suelen cometer es una buena manera de chequear lo que se ha entendido.
Los contenidos se presentan en los siguientes bloques:

PARTE 1

1- Números complejos. Operaciones elementales y propiedades: aquí veremos todas las maneras de escribir un número complejo. Aprenderemos a calcular módulos y argumentos. Estudiaremos la diferencia entre argumento y argumento principal y comenzaremos a realizar algunas operaciones sencillas. 
Demostraremos todos los pasos por sencillos que sean para ir adquiriendo soltura a la hora de expresar nuestro pensamiento de manera matemática. Para ello comenzaremos a introducir el punto de vista geométrico, que nos acompañará hasta el final del curso.
Aprenderemos a utilizar herramientas poderosas de esta asignatura que bien podremos usar en otras, como las aplicaciones de la fórmula de De Moivre.

2- Raíces enésimas. Ramas. Cortes de ramificación: introduciremos esta parte deduciendo una fórmula para el cálculo de las raíces enésimas de un número complejo. Atenderemos a la geometría de los resultados a partir de múltiples ejercicios.
Después comprenderemos qué es una función multivaluada y discutiremos las posibles maneras que hay para representar las funciones complejas, ya que éstas poseen 4 dimensiones y éso dificulta un poco su representación. 
Ello nos dará paso al estudio de los conceptos de corte de ramificación y rama, para los cuales tendremos que asimilar las ideas de continuidad  y límite en variable compleja.
Luego volverá a haber una buena cantidad de ejercicios. Ésta será una sección densa de la que aprender muchísimo. Aquí será la primera vez que encontremos ejercicios de un nivel más complicado al presentado en muchos exámenes, lo cual nos ayudará bastante para el día que nos examinemos.

3- Módulos, conjugados, desigualdades y regiones: la mayoría de los ejercicios de examen de regiones tienen que ver con comprender muy bien las propiedades de los módulos, conjugados y desigualdades triangulares, así que ésto será lo primero en lo que profundizaremos. Después de ello estaremos en condiciones de hablar de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación, conjuntos abiertos, cerrados, ni cerrados ni abiertos o cerrados y abiertos simultáneamente, conjuntos conexos, acotados etc. Como siempre, habrá ejercicios. Podréis comprobar que los propuestos en este bloque son muy sencillos. Los ejercicios más complejos sobre regiones se encontrarán más adelante relacionados con las funciones exponenciales, logarítmicas y transformaciones de Möbius, ya que es como se suele evaluar el conocimiento sobre este tema en los exámenes.

PARTE 2

1- La función exponencial compleja: esta sección empezará explicando conceptos que nos serán de mucha ayuda a partir de este punto. Hablaremos de qué es una función biyectiva, inyectiva, sobreyectiva y del problema de la reversibilidad en funciones no inyectivas. Después deduciremos una fórmula para la función exponencial y veremos su representación geométrica. 
Los ejercicios propuestos serán de nivel examen y superior. A partir de este momento las representaciones gráficas se convertirán en una de nuestras herramientas más preciadas. Veremos cómo un ejercicio que se muestra bastante complicado bajo un enfoque analítico puede convertirse en una pregunta relativamente fácil de contestar utilizando un punto de vista gráfico.

2- La función logaritmo complejo: este bloque será el más complejo. Los logaritmos integrarán todo lo referente a las ramas y al corte de ramificación estudiado ya en el bloque de las raíces y tendremos que recordad el problema de la reversibilidad en funciones no inyectivas. Deduciremos las fórmulas para la función rama principal del logaritmo "Log(z)" y para la función logaritmo multivaluada "log(z)". Veremos como expresar una determinada rama y la compararemos con la manera en que describíamos la rama de una raíz enésima. Entraremos en detalle en qué es el factor "n" del logaritmo multivaluado y finalmente hallaremos una fórmula para la función  " Valor Principal del logaritmo" expresada también como  "Log(z) ".
Los ejercicios propuestos tendrán nivel de examen y superior. Algunos de ellos serán particularmente completos.Para realizarlos necesitaremos aplicar todo lo que sabemos hasta este punto, pues habrá que graficar ramas de la función logaritmo multivaluado de una región inicial, que a su vez será alguna rama de una raíz enésima de alguna porción del plano complejo, así como calcular límites. De aquí aprenderemos mucho no sólo de logaritmos complejos, sino de cómo utilizar el lenguaje matemático para expresar ideas.

3- Transformaciones de Möbius y el infinito en variable compleja: esta sección supondrá una cierta bajada de intensidad respecto a la anterior pues su nivel de dificultad es, en comparación, bajo. 
Comenzaremos con un enfoque superficial de qué son las transformaciones de Möbius, con intención de aprender lo básico para poder enfrentarnos a ejercicios de examen. Luego entraremos más en detalle y miraremos a la transformación de Möbius como un conjunto de transformaciones más simples. Éso nos llevará a prestarle especial atención a la función inversa (1/z). Mediante ejercicios podremos comprobar su poder para transformar rectas en círculos etc. En este último punto participarán fuertemente nuestros conocimientos sobre las propiedades del módulo y del conjugado y los usaremos para realizar cálculos realmente curiosos.Después demostraremos por qué la restricción que caracteriza a toda transformación de Möbius ha de existir y ser como es. Por último, deduciremos una fórmula para construir la transformada inversa de Möbius.
Los ejercicios que se realizarán tras la teoría serán de nivel examen y superior. Aprenderemos a encontrar una región resultado de aplicar una transformación de Möbius a un conjunto inicial de números complejos. Si el enunciado nos ofrece la región producto de una transformación de Möbius, veremos cómo hallar la región inicial mediante caminos distintos de manera que uno de ellos se basará en la utilización de la transformada inversa de Möbius. También tendremos que construir una transformación de Möbius a la carta y mezclaremos logaritmos con transformaciones de Möbius. Durante todo este camino aprenderemos a interpretar el infinito en variable compleja. 

4- Más sobre límites, continuidad y cálculo diferencial. Cauchy-Riemann: aunque llegados a este punto ya sabremos qué es un límite en variable compleja,profundizaremos algo más al utilizarlo como herramienta clave para derivar funciones complejas. Relacionaremos continuidad y derivabilidad. Aprenderemos a calcular derivadas con diferentes herramientas. Primeramente usando la definición de límite y luego sin ella.
Los ejercicios propuestos son de nivel examen e inferior. Serán muy útiles para reforzar nuestros conocimientos sobre las propiedades del módulo y el conjugado y ver cómo aplicarlo para resolver límites en variable compleja

5- Funciones derivables, analíticas, holomorfas, armónicas y armónicas conjugadas: estudiaremos y veremos las diferencias entre las funciones mencionadas. Clasificaremos ejemplos en diferentes tipos de función.  Los ejercicios serán de nivel examen y superior. A través de ellos profundizaremos algo más en las ecuaciones de Cauchy-Riemann, encontrando una expresión en forma polar. Atenderemos a errores de entendimiento que los alumnos suelen cometer al estudiar el teorema que relaciona funciones armónicas conjugadas y derivabilidad. Aprenderemos a construir funciones analíticas según las condiciones de un enunciado etc.

6- Apéndices: aquí se encontrarán vídeos complementarios al curso y se podrán ver a gusto del estudiante.
 Se expondrá una demostración paso a paso de las ecuaciones de Cauchy-Riemann así como de las fórmulas para derivar sin utilizar la definición de límite. Lo mismo se hará para la fórmula de Euler etc
Luego habrá un conjunto de vídeos cuya temática suele estar fuera del temario exigido en un grado, ya que hablaremos de cómo apareció la unidad imaginaria. No obstante, a lo largo de esos vídeos se podrán aprender cosas muy interesantes que tal vez nunca se tocaron en el instituto. Así, aparte de interés histórico, se expondrán formas de enfocar las matemáticas a través de las batallas a las que los matemáticos de aquel momento se enfrentaron, lo cual sin duda es algo muy útil para cualquier asignatura de una carrera de ciencias.

Who this course is for:
  • Estudiantes de ingenierías, física o matemáticas
Curriculum
3 sections • 83 lectures • 13h 46m total length
  • Introducción
  • Formas De Escribir Un Número Complejo
  • Ejemplo: cómo escribir un número complejo
  • arg. Detalle 1. Semieje Real Positivo
  • arg. Detalle 2. Dos direcciones diferentes o sumarle 2 Pi no cambia al número
  • Ejercicio 001
  • Ejercicio 002
  • Ejercicio 003
  • Ejercicio 004
  • Ejercicio 005
  • Ejercicio 006
  • Ejercicio 007
  • Ejercicio 008
  • Ejercicio 009
  • Arg, el Argumento Principal
  • Ejercicio 010
  • Suma y resta de números complejos
  • Producto y cociente con complejos. Forma 1
  • Ejercicio 011
  • Ejercicio 012
  • Producto y cociente con complejos. Forma 2
  • Elevar a una potencia un número complejo
  • Ejercicio 013
  • Potencias y De Moivre. Una herramienta muy poderosa
  • Ejercicio 014
  • Ejercicio 015
  • Ejercicio 016
  • Interpretación Geométrica de la suma
  • Interpretación Geométrica de la multiplicación por un número real
  • Interpretación Geométrica de la multiplicación por un número complejo
  • Ejercicio 017
  • Nueva Interpretación Geométrica. Producto por un Real como si fuera un Complejo
  • Ejercicio 018
  • Ejercicio 019
  • Interpretación de Richard Feynman de la Multiplicación
  • Interpretación Geométrica de la Función Inversa
  • Ejercicio 020
  • ¿Por qué un exponente fraccionario expresa una raíz?
  • Fórmula para hallar las raíces enésimas de un número complejo. Parte 1
  • Fórmula para hallar las raíces enésimas de un número complejo. Parte 2
  • Ejercicio 021
  • Ejercicio 022
  • Ejercicio 023
  • Ejercicio 024
  • Ejercicio 025. Parte 1
  • Ejercicio 025. Parte 2
  • Ejercicio 026
  • Representación de Funciones Complejas. Las 4 Dimensiones
  • Representación de las 4 dimensiones de f(z) utilizando dos planos distintos
  • Concepto Función Multivaluada y Rama utilizando números Reales.
  • Concepto Función Multivaluada y Rama utilizando números Complejos
  • La función argumento "arg (z)" como una función multivaluada
  • Concepto de Corte de Ramificación I
  • Ejercicio 027
  • Ejercicio 028
  • Ejercicio 029
  • Concepto de Corte de Ramificación II
  • ¿Cuándo es Continua una función en Variable Compleja? Introducción a los límites
  • Concepto de Corte de Ramificación III
  • Concepto de Corte de Ramificación IV
  • Ejercicio 030
  • Ejercicio 031
  • Ejercicio 032
  • Ejercicio 033
  • Ejercicio 034
  • Ejercicio 035
  • Ejercicio 036
  • Ejercicio 037. Parte 1
  • Ejercicio 037. Parte 2
  • El Conjugado de un Complejo
  • La parte Real e Imaginaria de un complejo utilizando el Conjugado
  • Propiedades del Conjugado
  • Propiedades del Módulo
  • Desigualdades Triangulares
  • La circunferencia con Números Complejos
  • Regiones. Punto Interior, Frontera y Exterior
  • Regiones. Puntos de Acumulación. Conjunto Cerrado y Conjunto Abierto
  • Regiones. Ni Abiertos ni Cerrados. Abiertos y Cerrados a la vez
  • Regiones. Conjunto Conexo, Acotado, Dominio y Región
  • Ejercicio 038
  • Ejercicio 039
  • Ejercicio 040
  • Ejercicio 041

Instructor
Licenciado en Ciencias
Juan Ballesteros Peña
  • 4.9 Instructor Rating
  • 132 Reviews
  • 5,327 Students
  • 2 Courses

Este curso lo hemos realizado entre 2 personas: 

Juan Ballesteros Peña: licenciado en Ciencias Ambientales (Universidad de Alcalá de Henares), estudiante del grado en Física (Universidad Nacional a distancia). Profesor de Ciencias de bachillerato. Siempre he trabajado dando clases. He pasado por centros españoles, clases particulares y colegios internacionales en países como Thailandia. 

Marc Meléndez Schofield: licenciado en Ciencias Físicas. Máster y doctorado en Sistemas Complejos y termodinámica fuera del equilibrio.  Actualmente investigador en la Universidad Autónoma de Madrid.