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Matemática 5/6: Trigonometría: Triángulos, Ecuación, Función

Para preuniversitarios y secundarios, Problemas con triángulos, identidades, radianes, reducción al primer cuadrante

Created byMarcos Antonio Fatela

Last updated 3/2026

Spanish

What you'll learn

Conocer la unidades de ángulos y sus conversiones; las 6 razones trigonométricas directas y su empleo para resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos.
Conocer la identidad pitagórica y probar identidades diversas con un mismo ángulo, usar la circunferencia trigonométrica, reducir ángulos al primer cuadrante
Emplear las razones entre ángulos relacionados para probar identidades más complejas. Emplear las fórmulas del seno y coseno de la suma y diferencia de ángulos.
Resolver ecuaciones trigonométricas elementales con seno, coseno y tangente; y ecuaciones más complejas pasando a cuadrática, factorizando, etcétera.
Analizar gráficamente las 6 funciones trigonométricas directas y 3 inversas, hallando domino, imagen, ceros, positividad, negatividad, crecimiento y asíntotas.
Conocer la sinusoide generalizada, los conceptos de amplitud, frecuencia, periodo, pulsación, fase, fase inicial, desfase, valor medio e imagen de la función.
Hallar imagen ante dominios restringidos arbitrariamente para las funciones seno y coseno.

Course content

6 sections • 42 lectures • 20h 13m total length

Presentación del curso Trigonometría13:52
En este video inicial mostramos todo el contenido del curso de Trigonometría, que consiste en un material original en formato PDF de 59 páginas, explicado a través de 20 horas de clases, con 13 cuestionarios en el curso Udemy, 8 simulaciones de mi autoría, y un aula virtual Moodle complementaria que contiene abundantes ejercitación resuelta en videos y con imágenes, y 5 cuestionarios interactivos adicionales.
Aula virtual Moodle complementaria del curso, cómo matricularse e ingresar6:15
En esta clase muestro los pasos a seguir para crear una nueva cuenta en mi plataforma de cursos y luego poder auto-matricularse en el aula virtual Moodle con la clave respectiva que envío como archivo adjunto.
El aula virtual Moodle que acompaña a este curso es un recurso muy poderoso porque aporta decenas de videos e imágenes de ejercicios resueltos y también varios cuestionarios interactivos adicionales a los presentes en el curso Udemy.
Sistemas para medir ángulos: Sexagesimal, Radial y Centesimal, equivalencias58:38
Conversiones de unidades de ángulos, ejemplos de aplicación de radianes
Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Simulador29:30
En esta clase definimos desde cero las seis razones trigonométricas para un ángulo agudo.
Damos las primeras tres, que son las más importantes, el seno, el coseno y la tangente y también las funciones trigonométricas recíprocas: secante, cosecante y cotangente. Brindamos también una regla mnemotécnica.
Mostramos una simulación de mi autoría que refleja el significado de estas razones trigonométricas o cocientes entre segmentos en un triángulo rectángulo.
También mostramos cómo se utiliza la calculadora para calcular dichas razones.
Identidad Pitagórica y derivadas25:24
En esta clase demostramos la identidad pitagórica muy importante para la trigonometría y varias de las fórmulas que se derivan de ella.
También vemos formas alternativas de la identidad pitagórica, no tan útiles, y las demostramos.
Probar identidades trigonométricas29:12
En esta clase empezamos a probar identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades las cuales se prueban, a diferencia de las ecuaciones que se resuelven.
Muestro dos ejemplos completos de probanza de identidades trigonométricas que están en la guía de estudio y además hago un ejercicio completo del bloque para practicar que está al final del tema en dicha guía.
Identidades básicas con un mismo ángulo
Resolver triángulos rectángulos22:45
En esta clase tratamos la resolución de triángulos rectángulos.
Se trata de obtener todos los lados y ángulos desconocidos que tenga el triángulo.
Se aplican las definiciones de las razones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente, y se hacen los despejes convenientes.
Problemas con triángulos dados en forma coloquial34:33
En esta clase hablamos de problemas con triángulos rectángulos: se trata de situaciones narradas en lenguaje coloquial, en las cuales nos piden una determinada incógnita, que puede ser un lado de un triángulo o un ángulo incluso.
Vemos los conceptos de ángulo de elevación y de depresión y damos abundantes ideas acerca de cómo resolver los problemas con triángulos rectángulos un poco más avanzados que nos pueden llevar a armar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando razones trigonométricas básicas, o sea seno, coseno o tangente.
Resolución de triángulos oblicuángulos: Teorema del seno23:57
En esta clase empezamos con los triángulos oblicuángulos: se trata de triángulos generalizados que carecen de ángulos rectos, por ello todos los ángulos son diversos u oblicuos.
Empezamos demostrando el teorema del seno y enfatizando en precauciones que hay que tener al aplicar este teorema.
En clases posteriores, cuando tratemos con la circunferencia trigonométrica, vamos a demostrar el porqué de estas precauciones.
Resolución de triángulos oblicuángulos: Teorema del coseno25:57
En esta clase continuamos con los triángulos oblicuángulos demostrando el teorema del coseno.
Explico además la desigualdad triangular que siempre se cumple en todo triángulo y también muestro ejemplos de aplicación del teorema del coseno donde tenemos que despejar una determinada incógnita.
Criterios de congruencia de triángulos oblicuángulos20:15
En esta clase explicamos los criterios de congruencia de triángulos oblicuángulos.
Son cuatro criterios diferentes que aseguran que un triángulo está perfectamente definido.
Vamos explicando uno por uno estos criterios y con ejemplos mostramos cómo aseguran que se trata de un triángulo en particular.
Esto es importante porque en la clase siguiente resolveremos triángulos oblicuángulos procediendo de manera diversa según estos criterios.
Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos37:55
En esta clase explico la resolución de triángulos oblicuángulos siguiendo los cuatro criterios antes mencionados.
Mediante cuatro ejemplos podemos ver cómo se aplican las fórmulas del teorema del seno y del coseno para resolver estos triángulos según el criterio a aplicar.
Problemas con triángulos rectángulos y oblicuángulos

Circunferencia Trigonométrica: redefinición del seno y coseno25:05
En esta clase comenzamos a desarrollar el tema de la circunferencia trigonométrica: se trata de una circunferencia de radio 1 y que permite graficar en ella las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente.
A través de la circunferencia trigonométrica redefinimos el seno, y el coseno.
Ilustramos todo esto con el simulador interactivo de la circunferencia trigonométrica de mi autoría.
Vemos también los signos que van tomando las razones trigonométricas en los distintos cuadrantes.
Dada una razón trigonométrica, hallar las restantes32:24
En esta clase vemos cómo hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo cuando nos dan de dato solo una de ellas y el cuadrante al que pertenece el ángulo.
Según sea el dato el seno, el coseno o la tangente se procede de una manera diferente.
Lo explico tal como está redactado en la guía de estudios y además de una forma alternativa más gráfica que permite hallar las soluciones en forma más simple.
Dada una razón trigonométrica, hallar las restantes
Razones trigonométricas de ángulos típicos23:48
En esta clase expongo la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos típicos.
Estos valores hay que saberlos de memoria, porque son muy usados.
Además de explicar la regla nemotécnica para construir la tabla demuestro todo su contenido.
Relación entre funciones trigonométricas de ángulos complementarios25:29
En esta clase empezamos a estudiar el tema de las razones trigonométricas de ángulos relacionados entre sí.
Iniciamos con la relación que hay entre las funciones trigonométricas de dos ángulos complementarios, lo que demostramos en un triángulo rectángulo.
Además comenzamos a utilizar el simulador interactivo respectivo de mi autoría que muestra también la relación entre las razones trigonométricas de dos ángulos complementarios pero utilizando la circunferencia trigonométrica en lugar del triángulo rectángulo antedicho.
Fórmulas de reducción al primer cuadrante33:45
Otras fórmulas de reducción33:39
En esta clase termino el tema de las relaciones entre funciones trigonométricas de ángulos relacionados viendo categorías diferentes: ángulos que difieren en 90º, ángulos que suman 270º y ángulos que difieren en 270º.
Todo ello lo muestro con mi simulador interactivo de los ángulos relacionados y también en el texto de la guía de estudio en PDF.
Hacemos un resumen de estas nuevas “fórmulas de reducción al primer cuadrante”, que en realidad no se llaman así, pero que también de alguna manera hacen eso.
Por último resuelvo un ejemplo de identidad trigonométrica con ángulos relacionados entre sí usando algunas de las fórmulas vistas.
Ecuaciones lineales con coeficientes trigonométricos27:18
En esta clase desarrollamos un ejemplo de cómo resolver ecuaciones lineales simples pero con coeficientes trigonométricos.
Para ello debemos primero obtener dichos coeficientes trigonométricos en forma exacta, sin usar la calculadora, sino viendo la tabla de ángulos típicos y las fórmulas de reducción al primer cuadrante estudiadas.
Finalmente la solución de la ecuación es sencilla.
Ecuaciones lineales con coeficientes trigonométricos
Identidades con ángulos relacionados Ejercitación41:41
En esta última clase de la circunferencia trigonométrica mostramos ejemplos de identidades a probar utilizando razones trigonométricas de ángulos relacionados entre sí.
Hay dos ejemplos en la guía de estudios y luego muestro la tarea a realizar consistente en varios ejercicios tanto del bloque “Para Practicar” final de esta parte a) de trigonometría como de ejercicios respectivos del trabajo práctico.
Identidades con ángulos relacionados. Expresión más simplificada posible

Tangente y otras funciones en la circunferencia trigonométrica29:43
En esta clase volvemos a la circunferencia trigonométrica para mostrar en ella la tangente de un ángulo, la cotangente, la secante y la cosecante.
De manera tal que todas las razones trigonométricas pueden encontrarse en la gráfica de la circunferencia de radio unitario que es la circunferencia trigonométrica.
Volvemos a utilizar mi simulador interactivo de la circunferencia trigonométrica para explicar todo ello aparte de la información que está en la guía de estudio en PDF.
Seno y coseno de la suma y de la resta de dos ángulos34:43
En esta clase demostramos las fórmulas del seno y el coseno de la suma y de la resta de dos ángulos.
Son fórmulas muy importantes en la trigonometría.
Vemos una forma práctica de poder memorizarlas.
Fórmulas del ángulo doble, mitad y otras47:36
En esta última clase de fórmulas trigonométricas estudiamos la tangente de la suma y de la diferencia de dos ángulos y vemos un ejemplo también de ello .
Luego vemos las fórmulas del ángulo doble que son muy importantes y hay que memorizarlas y las fórmulas del ángulo mitad que no son tan importantes.
Enfatizo en lo que hay que saber de memoria, para luego poder deducir lo demás y no tener que memorizar todas las fórmulas.
Seno y coseno de la suma y de la resta de dos ángulos, Fórmulas del ángulo doble

Ecuaciones trigonométricas elementales con el seno52:36
En esta clase comenzamos a desarrollar las ecuaciones trigonométricas elementales. Inicialmente lo hacemos con las ecuaciones con el seno de un ángulo, vemos las dos soluciones que generalmente tienen estas ecuaciones y cómo hallarlas.
Utilizo el programa GeoGebra para mostrar algunos aspectos de las ecuaciones, pero el problema completo se puede razonar mejor con mi simulador interactivo de ecuaciones trigonométricas elementales.
Además en la guía de estudio en PDF están mostradas todas las posibilidades de solución de este tipo de ecuaciones elementales.
Ecuaciones trigonométricas elementales con el coseno16:27
En esta clase tratamos las ecuaciones trigonométricas elementales con el coseno. Otra vez usamos mi simulador interactivo respectivo y además mostramos que en la guía de estudio en PDF están graficadas todas las posibilidades de este tipo de ecuaciones.
Ecuaciones trigonométricas elementales con la tangente15:18
En esta última clase de las ecuaciones trigonométricas elementales vemos la que tienen tangente del ángulo.
Muestro esto tanto en el material de la guía de estudio en PDF, como en el simulador interactivo de mi autoría.
Por último doy instrucciones acerca de la ejercitación a realizar sobre las ecuaciones trigonométricas elementales.
Ecuaciones trigonométricas elementales
Ecuaciones trigonométricas más complejas pasando a cuadrática48:30
Ahora empezamos a resolver ecuaciones trigonométricas más complejas.
En primer lugar vemos las ecuaciones que pueden reducirse a la forma de una cuadrática con un simple cambio de variables.
Después vemos las ecuaciones donde hay que pasar todo a una sola razón trigonométrica antes de hacer el cambio de variables para pasar a la forma cuadrática. En este caso se aplica la identidad pitagórica.
Por último un caso en donde la razón trigonométrica aparece en un denominador, pero que operándose convenientemente adopta también la forma cuadrática.
Ecuaciones trigonométricas más complejas pasando a cuadrática
Ecuaciones trigonométricas por factoreo y aplicando propiedades de ángulos33:16
En esta clase seguimos con las ecuaciones trigonométricas más complejas, viendo un caso en donde hay que aplicar el factoreo a la ecuación trigonométrica dada.
Luego vemos también otro caso en donde hay que aplicar las propiedades de ángulos relacionados, en una ecuación donde la incógnita generalmente está limitada al primer cuadrante.
Ecuaciones trigonométricas por factoreo y aplicando propiedades de ángulos
Ecuación trigonométrica ejemplo completo38:10
En esta clase desarrollo un ejercicio completo de ecuación trigonométrica compleja, que lo suelen tomar en los ingresos, en donde hay que aplicar todo lo que sabemos, no solo de ecuaciones trigonométricas, sino también de razones trigonométricas entre ángulos relacionados y valores de funciones trigonométricas de ángulos típicos.
Son ejercicios largos y trabajosos.
Ecuación trigonométrica con cambio de variable en el argumento35:35
En esta clase vemos un caso distinto de ecuación trigonométrica compleja, donde hay que hacer un cambio de variables para poder resolverla, y tener en cuenta además que el rango de valores permitidos para la incógnita inicial que es generalmente de 0 a 360º pero debe alterarse convenientemente cuando hacemos un cambio de variables.
Más ecuaciones trigonométricas
Todas las soluciones de una ecuación trigonométrica19:30
En esta última clase de ecuaciones trigonométricas vemos cómo resolver una ecuación cuando no nos dan un intervalo de valores acotado para la incógnita, lo que indica que la misma podría tomar todos los valores posibles.
Esto me indica que tengo que expresar de forma concisa las infinitas soluciones que tendría la ecuación al no estar restringido el conjunto de valores que puede tomar la incógnita.

Análisis gráfico de la función seno22:23
En esta clase comenzamos con el análisis gráfico de las funciones trigonométricas, en este caso con la función seno.
Para ello también utilizamos mi simulador interactivo que permite observar la gráfica de la función seno, y cómo se va armando a medida que aumenta el ángulo x.
Se estudian todos los elementos del análisis gráfico de una función como el dominio, la imagen, los ceros (que son muy importantes por lo que veremos después) y los demás intervalos y conjuntos de positividad, negatividad, crecimiento y decrecimiento.
Análisis gráfico de la función coseno22:54
En esta clase continuamos con el análisis gráfico ahora con la función coseno. También tengo un simulador de mi autoría que permite ver cómo se forma la función coseno a medida que aumenta el valor de x.
Explico con detalle cómo se llega a una expresión compacta para los ceros de la función coseno, que va a tener bastante importancia para lo que que resta del análisis gráfico de las funciones trigonométricas.
Análisis gráfico de las funciones tangente y cotangente24:30
En esta clase seguimos con el análisis gráfico de la función tangente y de la cotangente.
Si bien no tengo un simulador específico del análisis gráfico de la tangente, con el simulador de la circunferencia trigonométrica vemos cómo va variando la función tangente a medida que aumenta x.
Luego me dedico a explicar los contenidos de la guía de estudio en PDF donde se ve la importancia de conocer la forma compacta de los ceros del seno y del coseno para obtener todos los elementos relevantes del análisis gráfico de las funciones tangente y cotangente.
Análisis gráfico de las funciones secante y cosecante. Ejercicios26:27
En esta última clase del análisis gráfico de las funciones trigonométricas directas vemos el análisis de las funciones secante y cosecante.
Explico en detalle el contenido de la guía de estudios en PDF, y la forma de razonar para obtener de manera sencilla todos los elementos relevantes del análisis gráfico de estas dos funciones.
Detallo también la ejercitación que hay que realizar para asimilar todo lo visto del análisis gráfico de las funciones trigonométricas directas.
Análisis grafico de la función arco seno21:13
En esta clase empezamos el análisis gráfico de las funciones trigonométricas inversas, iniciando con el arco seno.
Mostramos una vez más el significado de la inversa de una función, repasando conceptos ya vistos en funciones cuando explicamos la simetría gráfica existente entre una función y su inversa.
En esta clase utilizo el programa GeoGebra para mostrar cómo se arma la función arco seno y sus características.
Análisis gráfico del arco coseno y del arco tangente25:25
En esta clase concluyo con el análisis gráfico de las funciones trigonométricas inversas viendo la función arco coseno y la función arco tangente.
Una vez más acudimos al programa GeoGebra para ilustrar estas funciones como las inversas de las funciones coseno y tangente respectivamente.
También detallo la ejercitación que hay que realizar acerca de las funciones trigonométricas inversas.
Análisis gráfico de Funciones trigonométricas

Función seno generalizada con simulador23:55
En esta primera clase sobre la función seno generalizada muestro en mi simulador interactivo todo lo que puede afectar a la función seno como la amplitud, la frecuencia, el desplazamiento horizontal y vertical.
Esta clase trata de manera somera todos los conceptos que vamos a desarrollar con más profundidad en las siguientes clases siguiendo el material de la guía de estudio en PDF.
Amplitud y frecuencia de una onda senoidal34:14
Ahora entramos con más profundidad a analizar la amplitud y la frecuencia de una función senoidal generalizada. Distinguimos entre pulsación, período y frecuencia de una onda.
Para esto utilizo mi simulador interactivo acerca del movimiento armónico simple, que es el movimiento típico de una onda, de manera que resulte más sencillo comprender estos conceptos,
Explicamos cómo cambiar la variable x ángulo y llevarla a tiempo en segundos.
Fase inicial, desfase y valor medio de una sinusoide37:42
En esta clase terminamos con el estudio de la función seno generalizada viendo los temas fase, fase inicial y desfase.
Explicamos en detalle la diferencia entre estos conceptos con ejemplos que están en la guía de estudio en PDF.
Terminamos viendo la última constante que es el valor medio de la función y la forma de hallar la imagen de una función de este tipo trabajando con la amplitud A y el valor medio D.
Por último indicamos la ejercitación para asimilar todo este tema.
Imágenes en dominios restringidos en trigonometría10:38
Ahora abordamos el último tema de trigonometría, obtener la imagen de funciones trigonométricas ante dominios restringidos arbitrariamente.
Es un tema que ya hemos visto cuando vimos funciones, en particular en funciones cuadráticas o parábolas.
Para ilustrar mejor este tema utilizo el simulador de mi autoría graficador escalable de funciones, y voy mostrando cómo una función determinada (seno o coseno) puede irse limitando arbitrariamente cuando se restringe su dominio.
Fórmulas convierten productos de funciones trigonométricas en sumas y viceversa21:25
En esta última clase de trigonometría abordo una serie de fórmulas que permiten transformar productos de funciones trigonométricas en sumas y viceversa.
Se trata de un conjunto de hasta ocho fórmulas que no es conveniente memorizarlas, pero que incluso pueden obtenerse de manera sencilla a partir de las fórmulas del seno y del coseno de la suma y de la diferencia de ángulos.
La función seno (o coseno) generalizada y dominios restringidos

Requirements

Un nivel elemental de manejo de expresiones matemáticas, traspasos de términos en ecuaciones, operaciones y propiedades básicas de potencias y raíces, etc.

Description

En este curso desarrollo desde cero la Trigonometría. Es la quinta parte de un total de seis que constituyen toda la matemática necesaria para el ingreso a la Facultad, o sea de nivel preuniversitario.

Nos basamos en la guía en PDF de mi autoría, de 59 páginas, que voy desarrollando en 40 clases de 20 horas de duración total.

En una primera parte tratamos desde la medición de ángulos en distintas unidades, la definición de las razones trigonométricas y la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos empleando para ello los teoremas del seno y el coseno.

Definimos las identidades trigonométricas básicas y mostramos cómo probar cualquier identidad más compleja.

Usamos la circunferencia trigonométrica para redefinir el seno y el coseno de un ángulo y ver los signos que adoptan estas razones en los distintos cuadrantes.

Estudiamos en detalle las razones trigonométricas de ángulos relacionados entre sí: complementarios, suplementarios, que difieren en 180º, opuestos, etcétera.

Procedemos luego a probar identidades trigonométricas un poco más complejas porque trabajan con ángulos relacionados entre sí.

En una segunda parte definimos la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante en la circunferencia trigonométrica; vemos las fórmulas del seno y el coseno de la suma y de la diferencia de dos ángulos, las fórmulas del ángulo doble y las del ángulo mitad.

Luego desarrollamos en profundidad las ecuaciones trigonométricas elementales con el seno, con el coseno y la tangente.

A continuación vemos las ecuaciones trigonométricas más complejas que pueden necesitar un cambio de variable para pasar a cuadrática, o requerir una factorización, etcétera.

Tratamos en profundidad el análisis gráfico de las funciones trigonométricas directas, las seis, y también de las trigonométricas inversas como el arco seno, arco coseno y arco tangente.

Luego vemos la función seno generalizada con las constantes agregadas: amplitud, frecuencia, fase inicial y valor medio; definimos también la pulsación, el periodo y el desfase.

Por último estudiamos las imágenes de la función seno y coseno ante un dominio restringido arbitrariamente.

A lo largo del curso utilizo 9 simulaciones originales de mi autoría que permiten reflejar dinámicamente los conceptos del curso y además empleamos el programa GeoGebra que es muy útil para ilustrar situaciones diversas.

Nuestro curso se complementa con un aula virtual Moodle exclusiva, que brinda 5 cuestionarios interactivos adicionales a los 13 cuestionarios presentes en el curso de Udemy.

En dicha aula virtual hay abundantes ejercicios resueltos con videos e imágenes que ayudan en el desarrollo y solución de la abundante ejercitación que tiene este curso.

Who this course is for:

Postulantes a ingresar a la universidad en Ingeniería, Arquitectura, Ciencias Económicas y Agrarias u otras carreras que requieran Matemática en su ingreso.
Profesores del nivel medio o secundario que necesiten dictar estos temas o tener abundante ejercitación resuelta que pueda servirles en sus clases.
Aficionados a la Matemática que quieran fortalecer conocimientos adquiridos hace tiempo o incorporarlos a su formación académica.

Matemática 5/6: Trigonometría: Triángulos, Ecuación, Función

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