Stochastik - Crashkurs

Viele Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich mit Hilfe von Baumdiagrammen problemlos lösen. Wie man einen solchen Baum ließt, wie man damit arbeitet und was die Baumpfadregeln sind, das erfährst Du in diesem Video.

In diesem Video widmen wir uns dem Thema "Baumdiagramm" mal mit einem konkreten Beispiel. Hier geht es um das Ziehen ohne Zurücklegen (man zieht Kugeln aus einer Urne und legt jede gezogene Kugel NICHT wieder zurück in die Urne, sondern lässt sie draußen). Dadurch ändern sich von Zug zu Zug die Wahrscheinlichkeitsverteilungen...

Um zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten wir haben, beispielsweise vier Perlen nebeneinander anzuordnen, ist uns die Kombinatorik eine große Hilfe. Denn bei diesem Teilgebiet der Mathematik geht es um die Abzählproblematik diskreter Werte (wie zum Beispiel Perlen). Einen besonderen Platz in dieser Thematik hat dabei der sogenannte "Binomialkoeffizient". WIe mit ihm gerechnet wird und wie die wichtige Produktregel der Kombinatorik funktioniert, das ist Inhalt dieses Videos.

Ziehen ohne Zurücklegen bedeutet, dass aus einer Urne die bereits gezogene Kugel draußen bleibt. Das wiederum heißt, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse der Kugeln, die noch in der Urne sind, nach jeder gezogenen Kugel verändern. Wie man damit rechnet und worauf man achten muss, wenn die Beachtung der Reihenfolge wichtig ist, das lernst Du in diesem Video.

In diesem Video wenden wir das bereits im vorherigen Video Gelernte an einem Beispiel praktisch an.

Dieses Video ist ein weiteres aus der Reihe der Kombinatorik. Nun wollen wir die gezogenen Kugeln in die Urne zurücklegen (die Kugeln bleiben also NICHT mehr draußen, sondern kommen nach dem Ziehen wieder zurück in die Urne, die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse in der Urne verändern sich von Zug zu Zug also NICHT mehr) und die Beachtung der Reihenfolge ist wichtig.

In diesem Video wenden wir das bereits im vorherigen Video Gelernte an einem Beispiel praktisch an.

Das Urnenmodell ist ein absoluter Klassiker aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei geht es in diesem Fall imme rnur um die Abbildung verschiedener Fragestellungen aus dem tatsächlichen Alltag. Man muss diesen Alltagsbegebenheiten nur das richtige Modell zuordnen können. Es gibt also das Ziehen von Kugeln aus einer Urne MIT Zurücklegen oder auch OHNE Zurücklegen. Außerdem unterscheidet man noch, ob man die Reihenfolge beachtet oder nicht.

Dieses Video befasst sich mit dem Thema "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" (wie zum Beispiel beim Lotto).

Die aus einer Urne gezogene Kugel bleibt draußen, wird also NICHT zurückgelegt. Damit verändern sich die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse der Kugeln, die in der Urne bleiben. Nun ist aber die Reihenfolge der gezogenen Kugeln irrelevant. In diesem Videoclip schauen wir uns ein konkretes Beispiel einmal an...

Der Satz von Bayes lässt sich sehr gut an einem Baumdiagramm erklären, denn da wird er besonders gut "sichtbar" und deutlich. Es geht darum, dass man rechnerisch ermitteln kann, ob zwei Ereignisse voneinander abhängig sind oder nicht. Wie er lautet und wie man mit ihm rechnet, das lernst Du in diesem Videoclip.

Stochastische Unabhängigkeiten bzw. stochastische Abhängigkeiten lassen sich natürlich nicht nur mit einem Baumdiagramm überprüfen. Baumdiagramm und Vierfeldtafel sind ziemlich "verwandt". Sie zeigen relativ ähnliche Zusammenhänge, wobei die Vierfeldtafel noch etwas "reseliger" ist, wenn es um das Darstellen von Informationen geht. Wie man mit Hilfe der Vierfeldtafel stochastische Unabhängigkeiten überprüfen kann, das lernst Du in diesem Video.

Stochastische Unabhängigkeiten bzw. stochastische Abhängigkeiten lassen sich natürlich nicht nur mit einem Baumdiagramm überprüfen. Baumdiagramm und Vierfeldtafel sind ziemlich "verwandt". Sie zeigen relativ ähnliche Zusammenhänge, wobei die Vierfeldtafel noch etwas "reseliger" ist, wenn es um das Darstellen von Informationen geht. Wie man mit Hilfe der Vierfeldtafel stochastische Unabhängigkeiten überprüfen kann, das lernst Du in diesem Video.

Bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung geht es um Größen, die diskret abzählbar sind (im Gegensatz zur stetigen Zufallsverteilung). In diesem Video lernst Du, wie sich die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet.

Neben der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist auch oft von der "Verteilungsfunktion" die Rede. Hierbei geht es um die "kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung" bis zu einem bestimmten Wert. Was das im Klartext bedeutet wird in diesem Video (hoffentlich) deutlich...

Wenn eine Trefferwahrscheinlichkeit bekannt ist und auch bekannt ist, wie oft ein Versuch durchgeführt wird (Beispiel: Ein Elfmeterschütze hat eine Trefferquote von 80 Prozent und schießt in einer Saison 10 Elfer), dann lässt sich daraus ein Erwartungswert errechnen (der Elfmeterschütze wird wohl circa 8 Treffer landen). Logisch ist natürlich auch, dass dies eben nur eine Art Richtwert ist, die tatsächliche Trefferanzahl kann natürlich abweichen (was sie meist auch tut). Wie stark sie abweicht, das lässt sich berechnen. Und zwar mit Hilfe der Varianz bzw. Standardabweichung. Details zu diesen Zusammenhängen und vor allem, wie man das alles berechnet, lernst Du in diesem Video.

Diese Verteilung nennt man auch "Null-Eins-Verteilung", "Alternativverteilung" oder auch "Boole-Verteilung". Daraus wird deutlich: Es geht um die Unterscheidung zwischen zwei Zuständen. Genau genommen: Es geht um die Unterscheidung zwischen Treffer und Nichttreffer. Die Details zu einem Bernoulli-Experiment bekommst Du in diesem Videoclip.

Auch bei der Binomialverteilung geht es um die Unterscheidung zwischen "Treffer" und "Nichttreffer". Sie gehört zu den wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Genau genommen geht es um die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben.

In manchen Aufgabenstellungen kommt es auch mal vor, dass die Trefferwahrscheinlichkeit gegeben ist, auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit, die sonst berechnet werden soll, aber gesucht wird die ANzahl der Durchführungen n. Es geht also um die Frage: "Wie oft muss Versuch XY durchgeführt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens soundsoviel Prozent...".

So oder so ähnlich klingen diese Aufgaben dann. Ein konkretes Beispiel gibt's in diesem Video.

Dass der Erwartungswert nichts weiter als der Erwartungswert ist, die tatsächliche Anzahl aber oftmals um den Erwartungswert herum liegt, haben wir bereits "besprochen". In manchen Aufgaben wird auch eine Umgebung um den Erwartungswert herum gefragt...

In einer Urne sind N Objekte, davon haben K Objekte eine bestimmte  Eigenschaft und die restlichen Objekte haben diese Eigenschaft nicht.  Entnimmt man nun aus der Urne eine Stichprobe von n Objekten ohne  zurücklegen, so sind die einzelnen Entnahmen nicht unabhängig. Die  Zufallsgröße Y gibt die Zahl k der Objekte der Stichprobe an, welche die  entsprechende Eigenschaft haben. 

Was das im Klartext bedeutet, dazu mehr in diesem Video.

In einer Urne befinden sich 10 Kugeln. 6 davon sind blau. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei fünffachem Ziehen (ohne Zurücklegen) 3 blaue Kugeln zu ziehen?

Bei den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die Standardnormalverteilung eine der wichtigsten. Diese erklären wir in diesem Lernvideo direkt an einem konkreten Beispiel.