RDM "Résistance des matériaux" : Cours et exercices corrigés

Le cisaillement :

La sollicitation de cisaillement est lorsque deux efforts tranchants sont appliqués à une pièce pour la cisailler ou la couper.

On va étudier la contrainte dans une des section de la piece, et voir la condition de résistance et de rigidité de la pièce .

La traction est l'essai mécanique le plus utilisé pour déterminer quelques caractéristiques d'un matériau.

Une poutre est sollicitée à la traction simple lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées,

appliquées au centre de surface des sections extrêmes et qui tendent à l'allonger

Avec cette vidéo nous allons voir comment réaliser cet essai de traction, mais aussi apprendre à faire différents calculs, comme celui de la contrainte, la condition de résistance et autres calculs.

Le cisaillement est aussi une sollicitation qui nous permet de définir quelques caractéristiques des matériaux.

Une poutre est sollicitée en cisaillement lorsque sa section S est soumise à une résultante T appliquée en G (barycentre de la section) et contenue dans le plan (S).

T est appelé effort tranchant

Cette vidéo nous explique l'essai de cisaillement, nous apprend à calculer la contrainte au cisaillement, et comment calculer la valeur de cette contrainte, et aussi la condition de résistance et de rigidité.

 L'unité de moment quadratique est le mm4 (ou le m4)

 Un moment quadratique est toujours positif.

 Le moment quadratique dépend uniquement de la géométrie de la section droite

Théorème de Huygens

Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu dans son plan est égal au moment

quadratique de cette section par rapport à un axe parallèle au premier et passant par son barycentre,

augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.

Une poutre est sollicitée en torsion lorsque les actions aux extrémités se réduisent à deux moments égaux et

opposés, portés par la ligne moyenne Lm.

Le moment M est appelé moment de torsion, et est noté Mt. Soit  l’angle de rotation entre les deux

extrémités de la poutre.

L’angle unitaire de torsion Téta est caractéristique de la déformation. Sa méthode de calcul dépend de la

géométrie de la section (forme, section ouverte ou fermée, etc…).

Définitions et hypothèses :

 La flexion est la déformation d'un objet qui se traduit par une courbure. Dans le cas d'une poutre, elle tend à rapprocher les deux extrémités de la poutre.

 En théorie des poutres, on considère des fibres, c'est-à-dire des petits cylindres de matières générés par une portion dS et une courbe parallèle à la courbe moyenne (la « direction de la poutre ») ; la courbe moyenne passe par les centres de gravité des sections droites (sections perpendiculaires à la courbe moyenne). La fibre générée par la courbe moyenne est appelée « fibre neutre ». Elle garde sa longueur lors de la flexion.

 Une poutre est sollicitée en flexion simple quand toutes les forces appliquées à la poutre que ce soient les forces à distance ou les forces élémentaires de liaison sont perpendiculaires à la ligne moyenne, et soit situées dans le plan de symétrie, soit réparties symétriquement par rapport à celui-ci, ou concentrées en un point ou réparties suivant une loi.

 Au cours de la déformation, les sections droites (constantes) restent planes et normales à la ligne moyenne. La ligne moyenne de la poutre est rectiligne et confondue avec l’axe (o,x) .

 Le torseur associé aux efforts de cohésion peut se réduire en G, à une résultante contenue dans le plan de la section et à un moment perpendiculaire à cette dernière.

La suite de la flexion:

Poutre encastrée avec une charge concentrée et un moment

Poutre sur deux appuis avec une charge répartie le long de la poutre

Calcul de La déformée

Calcul de la contrainte

Définition

On définit le moment d’inertie ou moment quadratique d’une section comme le degré de résistance de cette

section aux efforts extérieurs appliqués, en tenant compte de la forme de cette section

La résistance est la force maximale que peut supporter une pièce par unité de surface sans casser.

Contraintes de traction et de compression force en newton N.

Surface en mm² contrainte en N/mm² ou MPa, la contrainte est appelée contrainte normale de traction (compression) symbole σ(c) (sigma).

Rpe résistance pratique à l’extension en N/mm² ou MPa (Rpc dans le cas de la compression). Re résistance élastique à l’extension en N/mm² ou MPa s ou k coefficient de sécurité sans unité.

Allongement relatif  ε = ∆ L/ L = σ/E.

σ=F/S.    ΔL=FL/ES

Principe fondamental de la statique :

La somme vectorielle des forces extérieures est nulle. ET la somme vectorielle des moments en un point quelconque est nulle.

Les contraintes tangentielles TAU sont sensiblement uniformément réparties dans une section droite. On définit une contrainte moyenne TAUmoy égale à TAU si la répartition des contraintes tangentielles était uniforme.

TAUmoy = T/S

La condition de résistance pour une sollicitation de cisaillement est la même que pour la traction en prenant en compte la résistance pratique au cisaillement (ou glissement) Rpg :

Rpg=Reg/s.    Avec : Reg : Résistance élastique au glissement (MPa) et s coefficient de sécurité.

La torsion (dite aussi torsion pure) est un mode de sollicitation de sorte que dans toute section

droite d’un corps (ou d’une pièce) il n’existe qu’un moment de torsion Mt.

La poutre est sollicitée en torsion simple lorsqu'elle est soumise à ses deux extrémités à deux couples opposés MG1 et MG2 ayant pour support la ligne moyenne et tels que: MG1 + MG2  0 -Les déformations seront toujours limitées au domaine élastique et la variation de longueur des fibres est considérée comme négligeable.

Loi de Hooke :

Si nous considérons un petit élément Delta(x) d’un fibre avant et après déformation, on constate que celui-ci a subi une déviation Gama(M) tout à fait comparable à celui que nous avions observé dans l’étude du cisaillement .Une étude expérimentale plus poussée nous montrerait une grande analogie entre les résultats expérimentales de la torsion et du cisaillement.

Une poutre est sollicitée en flexion lorsque sa section S est soumise à

une action au barycentre composé d’une résultante T contenue dans le

plan de symétrie et un moment Mfz perpendiculaire à ce dernier.

Mfz est appelé moment fléchissant, ou moment de flexion.

Suite des exercices de la flexion :

Poutre encastrée, une charge concentrée et un moment

Poutre sur deux appuis avec une charge répartie