Mehrdimensionale Integralrechnung

Name: Mehrdimensionale Integralrechnung
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Gebiets-, Kurven-, Oberflächenintegrale und Integralsätze

Created byPeter Lehe

Last updated 2/2020

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Grundverständnis: Was sind Mehrfachintegrale und welche Anwendung haben sie?
Alles über Gebietsintegrale, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale
Mehrfachintegrale: Integrationsgrenzen aufstellen, vertauschen und lösen
Berechnung von Längen, Flächen, Volumen, Arbeits- und Flussintegralen, sowie geometrischen Schwerpunkten und Trägheitsmomenten
Transformationssatz (inkl. Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten)
Spezielle Gebiete, Kurven und Oberflächen parametrisieren
Integralsätze von Gauß, Stokes und Green verstehen und anwenden
Jede Prüfungsaufgabe zur Mehrdimensionalen Integralrechnung lösen
Wiederholung von Integrationsstrategien: Substitution, Partielle Integration, Partialbruchzerlegung, Uneigentliche Integrale, Regel für lineares Integrieren
Wiederholung von Rechengesetzen: Potenz-, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusrechengesetze
Wiederholung von Grundlagen: mathematische Terme zusammenfassen, ausmultiplizieren, ausklammern, Brüche erweitern & kürzen

Course content

6 sections • 70 lectures • 10h 59m total length

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Wie du diesen Abschnitt nutzen solltest0:13
Riemann Integral (Herleitung + Bedeutung + Voraussetzung)12:42
Jacobi Matrix (Ableitungsmatrix von Funktionen mehrerer Variablen)9:43
Kreuzprodukt3:37
Differentialoperatoren (Übersicht)3:09
Rotation eines Vektorfeldes5:32
Divergenz eines Vektorfeldes3:25
Was ist eine Potentialfunktion?3:10
Skalarpotential berechnen (Ansatzmethode)13:07
Skalarpotential berechnen (Kurvenintegralmethode)7:59
Vektorpotential berechnen10:50

Anwendung und Bedeutung des Integranden9:53
Übersicht für Gebietsintegrale4:34
Transformation von Gebieten (am Beispiel)4:56
Spezielle Transformationen (Polar-, Zylinder-, Kugelkoordinaten)8:34
Aufgabe 1: Integrationsgebiet "Quadrat"6:58
Aufgabe 2: Integrationsgebiet "Hyperbelsegment"11:33
Aufgabe 3: Integrationsgebiet "Dreieck"11:29
Aufgabe 4 (Teil 1): Integrationsgebiet "Trapez" (Integrationsgrenzen aufstellen)7:00
Aufgabe 4 (Teil 2): Integrationsgebiet "Trapez" (Integrale berechnen)10:55
Aufgabe 5 (Teil 1): Flächeninhalt eines (ebenen) Flächenstücks7:14
Aufgabe 5 (Teil 2): Masse und Schwerpunkt eines (ebenen) Flächenstücks13:21
Aufgabe 6 (Teil 1): Volumen eines Körpers (mit Polarkoordinaten)15:19
Aufgabe 6 (Teil 2): Masse eines Körpers (mit Polarkoordinaten)13:11
Aufgabe 7 (Teil 1): Zylinder durchstößt Kugel (Integrationsbereich aufstellen)9:38
Aufgabe 7 (Teil 2): Zylinder durchstößt Kugel (Volumenberechnung)16:25

Kurvenintegrale 1. Art2:41
Aufgabe 1: "Helix"6:26
Kurvenintegrale 2. Art7:22
Aufgabe 2a: "Umfang eines Kreises"6:48
Aufgabe 2b: "Arbeit entlang eines Kreises"5:04
Aufgabe 2c: "Archimedische Spirale"11:02
Aufgabe 3: "Zirkulation entlang eines Dreiecks"15:18
Aufgabe 4: "Logarithmische Spirale"11:11
Aufgabe 5: "Wegunabhängigkeit" (Wege in konservativen Vektorfeldern)11:04
Aufgabe 6: "Wegabhängigkeit" (Wege in Wirbelfeldern)7:38
Aufgabe 7: "Kardioide"9:20
Aufgabe 8: "Konservatives (???) Vektorfeld"13:51
Aufgabe 9: "Länge einer Kettenlinie"7:00
Aufgabe 9b: "Geometrischer Schwerpunkt einer Kettenlinie"13:17

Oberflächenintegrale 1. Art7:47
Aufgabe 1 (Teil 1): "Mantelfläche Paraboloid" (in Kartesischen Koordinaten x,y)17:42
Aufgabe 1 (Teil 2): "Mantelfläche Paraboloid" (in Polar Koordinaten r,phi)11:27
Oberflächenintegrale 2. Art9:35
Aufgabe 2 (Teil 1): "Fluss durch Paraboloid - Mantel"16:03
Aufgabe 2 (Teil 2): "Fluss durch Paraboloid - Grundfläche"10:34
Aufgabe 3 (Teil 1): "Flächeninhalt Flächenstück" (Karthesische Koordinaten)14:48
Aufgabe 3 (Teil 2): "Flächeninhalt Flächenstück" (Polar Koordinaten)9:23
Aufgabe 3 (Teil 3): "Flächenträgheitsmoment Flächenstück"9:57
Aufgabe 4: "Fluss durch Zylindermantel"13:31
Aufgabe 5: "Staumauer"13:05
Aufgabe 6: "Energiefluss durch Kegelmantel"12:39
Aufgabe 7: "Magnetfluss durch Halbkugel"16:39

Integralsatz von Gauß6:56
Aufgabe 1: "Elektrischer Fluss durch Einheitswürfel"7:44
Aufgabe 2: "Fluss durch Paraboloid"8:54
Aufgabe 3: "Fluss durch Zylinder + Halbkugel"5:48
Aufgabe 4 (Teil 1): "Ebener Satz von Gauß zur Flächenberechnung" (Herleitung)10:15
Aufgabe 4 (Teil 2): "Ebener Satz von Gauß zur Flächenberechnung" (Bsp.: Ellipse)3:19
Aufgabe 5 (Teil 1): GEGENBEISPIEL Gauß (Parametrisierung mit Kugelkoordinaten)11:33
Aufgabe 5 (Teil 2): GEGENBEISPIEL Gauß (Fluss Coulombfeld durch Kugeloberfläche)7:47
Aufgabe 5 (Teil 3): GEGENBEISPIEL Gauß (Fluss durch eingeschlossenen Körper)8:45
Integralsatz von Stokes9:44
Aufgabe 6: "Zirkulation entlang Kreis"16:57
Aufgabe 7: "Zirkulation entlang Kreis" (GEGENBEISPIEL)11:46
Aufgabe 8: "Zirkulation entlang (ebenem) Dreieck" (Satz von Green)12:33
Aufgabe 9 (TEIL 1): "Integralsatz von Stokes verifizieren" (Arbeitsintegral)9:06
Aufgabe 9 (TEIL 2): "Integralsatz von Stokes verifizieren" (Oberflächenintegral)11:34

Requirements

Du solltest grundlegende Kenntnisse beim Ableiten und Integrieren von Funktionen haben
Ich empfehle dir zur optimalen Vorbereitung meinen Online Kurs "Integralrechnung"

Description

Themenübersicht

Was dich erwartet
Grundlagen
Gebietsintegrale
Kurvenintegrale
Oberflächenintegrale
Integralsätze

In jedem Abschnitt erwarten dich zuerst einmal kurz die wichtigsten Grundlagen zu den einzelnen Themen. Im Anschluss rechnen wir perfekt ausgewählte Übungsaufgaben mit Anwendungsbezug, damit du für deine Prüfung jeden Aufgabentyp schon einmal selbst durchgerechnet hast und optimal vorbereitet bist. Einige Aufgaben werden sogar auf verschiedenen Wegen gelöst, damit du ein umfassendes Verständnis für das die "Mehrdimensionale Integralrechnung" entwickelst.

Im Kurs zum Download erhältlich

Merkzettel (PDF)
Videoaufgaben (PDF)
Übungsaufgaben + Lösungen (PDF)
Fehlerliste (PDF)

Who this course is for:

Studenten mit Modulen wie Höherer Mathematik/ Technischer Mathematik
Studenten der Ingenieurwissenschaft, Physik und Wirtschaftswissenschaften (mit technischem Schwerpunkt)

Mehrdimensionale Integralrechnung

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Course content

Einleitung2 lectures • 2min

Grundlagen Bibliothek [optional]11 lectures • 1hr 13min

Gebietsintegrale15 lectures • 2hr 31min

Kurvenintegrale14 lectures • 2hr 8min

Oberflächenintegrale13 lectures • 2hr 43min

Integralsätze15 lectures • 2hr 23min

Requirements

Description

Who this course is for: