Master Limits & Continuity: Engineering Maths Crash

Calculus & Limits: Continuity, Infinite Limits, Indeterminate Forms.

Created byKrystian Karczynski

Last updated 7/2025

English

What you'll learn

Calculate limits of polynomial and rational sequences by factoring out the highest‐power term
Solve limits that contain square-roots by multiplying with the conjugate to rationalise the expression
Evaluate exponential-type limits and related forms by using the definition of e
Apply the Squeeze Theorem together with sums of arithmetic and geometric sequences to prove non-trivial sequence limits
Determine simple and one-sided limits of functions and assess continuity or discontinuity at a point

Course content

8 sections • 32 lectures • 23h 50m total length

Video (English AI Dubbed Version)1:15:55
This is the English version of Lesson 1 in dubbed format.
This lesson introduces the topic of limits of sequences. Right away I demonstrate the first, fundamental technique for computing those limits — factoring out the highest power.
From it you will learn, among other things, how to grasp in a simple way what the limits of sequences are and how helpful that understanding is when computing them.
You will also become familiar with two fundamental, elementary limit formulas—used at virtually every turn—whose very existence many beginners are unaware of when they start learning.
This lesson lasts 75 minutes and contains 30 step-by-step examples, including examples with exponential expressions and factorials.
Table of Contents:
Intuitive overview of the limit of a sequence and its formal definition [02:26]
Sequences – 5 examples [12:22]
Indeterminate forms [22:53]
Factoring out the highest power – examples 1-3 [25:50]
Factoring out the highest power – examples 4-8 [34:03]
Factoring out the highest power – examples 9-12 [42:10]
Factoring out the highest power – examples 13-16 [47:30]
Factoring out the highest power – examples 17-18 [52:15]
Factoring out the highest power – examples 19-20 [57:37]
Factoring out the highest power in exponential functions – 3 examples [01:00:51]
Factoring out the highest power in factorial examples – example 1 [01:08:07]
Factoring out the highest power in factorial examples – example 2 [01:11:07]
Video (English AI Voice-over Version)1:15:55
This is the English version of Lesson 1 in ai voice-over format.
This lesson introduces the topic of limits of sequences. Right away I demonstrate the first, fundamental technique for computing those limits — factoring out the highest power.
From it you will learn, among other things, how to grasp in a simple way what the limits of sequences are and how helpful that understanding is when computing them.
You will also become familiar with two fundamental, elementary limit formulas—used at virtually every turn—whose very existence many beginners are unaware of when they start learning.
This lesson lasts 75 minutes and contains 30 step-by-step examples, including examples with exponential expressions and factorials.
Table of Contents:
Intuitive overview of the limit of a sequence and its formal definition [02:26]
Sequences – 5 examples [12:22]
Indeterminate forms [22:53]
Factoring out the highest power – examples 1-3 [25:50]
Factoring out the highest power – examples 4-8 [34:03]
Factoring out the highest power – examples 9-12 [42:10]
Factoring out the highest power – examples 13-16 [47:30]
Factoring out the highest power – examples 17-18 [52:15]
Factoring out the highest power – examples 19-20 [57:37]
Factoring out the highest power in exponential functions – 3 examples [01:00:51]
Factoring out the highest power in factorial examples – example 1 [01:08:07]
Factoring out the highest power in factorial examples – example 2 [01:11:07]
Video (Hindi AI Dubbed Version)1:15:55
This is the Hindi version of Lesson 1 in dubbed format.
यह पाठ अनुक्रमों की सीमाओं के विषय से परिचय कराता है। इसमें तुरंत ही उनकी गणना की पहली, बुनियादी विधि – “उच्चतम घात को बाहर निकालना” – दिखाई जाती है।
इसमें आप, अन्य बातों के साथ, सरल ढंग से जानेंगे कि अनुक्रम की सीमा क्या होती है और इसे निकालने में यह समझ कितनी उपयोगी होती है।
आप दो मूलभूत, प्रारंभिक सीमा-सूत्र भी सीखेंगे जिन्हें हर चरण पर उपयोग किया जाता है – ऐसे सूत्र जिनके अस्तित्व का आरम्भ में कई छात्र अनुमान तक नहीं लगाते।
यह पाठ 75 मिनट का है और इसमें 30 क्रमिक (स्टेप-बाय-स्टेप) उदाहरण हैं, जिनमें घातांकीय अभिव्यक्तियाँ और फ़ैक्टोरियल वाले उदाहरण भी शामिल हैं।
विषय-सूची:
अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का सहज परिचय और उसकी औपचारिक परिभाषा [02:26]
अनुक्रम – 5 उदाहरण [12:22]
अनिश्चित रूप [22:53]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 1-3 [25:50]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 4-8 [34:03]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 9-12 [42:10]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 13-16 [47:30]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 17-18 [52:15]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 19-20 [57:37]
घातांकीय फलनों में उच्चतम घात को बाहर निकालना – 3 उदाहरण [01:00:51]
फैक्टोरियल वाले उदाहरणों में उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 1 [01:08:07]
फैक्टोरियल वाले उदाहरणों में उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 2 [01:11:07]
Video (Hindi AI Voice-over Version)1:15:55
This is the Hindi version of Lesson 1 in ai voice-over format.
यह पाठ अनुक्रमों की सीमाओं के विषय से परिचय कराता है। इसमें तुरंत ही उनकी गणना की पहली, बुनियादी विधि – “उच्चतम घात को बाहर निकालना” – दिखाई जाती है।
इसमें आप, अन्य बातों के साथ, सरल ढंग से जानेंगे कि अनुक्रम की सीमा क्या होती है और इसे निकालने में यह समझ कितनी उपयोगी होती है।
आप दो मूलभूत, प्रारंभिक सीमा-सूत्र भी सीखेंगे जिन्हें हर चरण पर उपयोग किया जाता है – ऐसे सूत्र जिनके अस्तित्व का आरम्भ में कई छात्र अनुमान तक नहीं लगाते।
यह पाठ 75 मिनट का है और इसमें 30 क्रमिक (स्टेप-बाय-स्टेप) उदाहरण हैं, जिनमें घातांकीय अभिव्यक्तियाँ और फ़ैक्टोरियल वाले उदाहरण भी शामिल हैं।
विषय-सूची:
अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का सहज परिचय और उसकी औपचारिक परिभाषा [02:26]
अनुक्रम – 5 उदाहरण [12:22]
अनिश्चित रूप [22:53]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 1-3 [25:50]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 4-8 [34:03]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 9-12 [42:10]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 13-16 [47:30]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 17-18 [52:15]
उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 19-20 [57:37]
घातांकीय फलनों में उच्चतम घात को बाहर निकालना – 3 उदाहरण [01:00:51]
फैक्टोरियल वाले उदाहरणों में उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 1 [01:08:07]
फैक्टोरियल वाले उदाहरणों में उच्चतम घात को बाहर निकालना – उदाहरण 2 [01:11:07]
HOMEWORK (Test)
गृहकार्य (परीक्षण)

Video (English AI Dubbed Version)35:16
This is the English version of Lesson 2 in dubbed format.
In this lesson I discuss the second, very basic method for computing certain limits of sequences that involve a difference with radicals.
You will learn how to effortlessly distinguish the two versions (easier and harder) of limits that are solved using multiplication by the conjugate.
This lesson lasts almost 36 minutes and I present 8 step-by-step examples.
Table of Contents:
overview: when we apply the method [01:30]
multiplying by the conjugate with square roots – example 1 [02:41]
multiplying by the conjugate with square roots – example 2 [07:48]
multiplying by the conjugate with square roots – example 3 [10:31]
multiplying by the conjugate with square roots – example 4 [14:24]
multiplying by the conjugate with square roots – example 5 [20:27]
multiplying by the conjugate with square roots – example 6 [24:11]
multiplying by the conjugate with a cube root – example [27:56]
using two methods at once – example [30:45]
Video (English AI Voice-over Version)35:17
This is the English version of Lesson 2 in ai voice-over format.
In this lesson I discuss the second, very basic method for computing certain limits of sequences that involve a difference with radicals.
You will learn how to effortlessly distinguish the two versions (easier and harder) of limits that are solved using multiplication by the conjugate.
This lesson lasts almost 36 minutes and I present 8 step-by-step examples.
Table of Contents:
overview: when we apply the method [01:30]
multiplying by the conjugate with square roots – example 1 [02:41]
multiplying by the conjugate with square roots – example 2 [07:48]
multiplying by the conjugate with square roots – example 3 [10:31]
multiplying by the conjugate with square roots – example 4 [14:24]
multiplying by the conjugate with square roots – example 5 [20:27]
multiplying by the conjugate with square roots – example 6 [24:11]
multiplying by the conjugate with a cube root – example [27:56]
using two methods at once – example [30:45]
Video (Hindi AI Dubbed Version)35:16
यह डब्ड प्रारूप में पाठ 2 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं उन अनुक्रम सीमाओं की दूसरी, बिल्कुल बुनियादी विधि—जहाँ अभिव्यक्तियों में वर्गमूल का अंतर होता है—पर चर्चा करता/करती हूँ।
इसमें आप बिना कठिनाई के सीखेंगे कि संयुग्म से गुणा-वाली सीमाओं के दो रूप (सरल और कठिन) को कैसे आसानी से अलग पहचाना जाए।
यह पाठ लगभग 36 मिनट का है और इसमें मैं 8 क्रमिक उदाहरण प्रदर्शित करता/करती हूँ।
विषय-सूची:
इस विधि को कब लागू करें – परिचय [01:30]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 1 [02:41]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 2 [07:48]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 3 [10:31]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 4 [14:24]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 5 [20:27]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 6 [24:11]
त्रिघात मूल के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण [27:56]
दो विधियों का एक साथ उपयोग – उदाहरण [30:45]
Video (Hindi AI Voice-over Version)35:17
यह एआई वॉइस-ओवर प्रारूप में पाठ 2 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं उन अनुक्रम सीमाओं की दूसरी, बिल्कुल बुनियादी विधि—जहाँ अभिव्यक्तियों में वर्गमूल का अंतर होता है—पर चर्चा करता/करती हूँ।
इसमें आप बिना कठिनाई के सीखेंगे कि संयुग्म से गुणा-वाली सीमाओं के दो रूप (सरल और कठिन) को कैसे आसानी से अलग पहचाना जाए।
यह पाठ लगभग 36 मिनट का है और इसमें मैं 8 क्रमिक उदाहरण प्रदर्शित करता/करती हूँ।
विषय-सूची:
इस विधि को कब लागू करें – परिचय [01:30]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 1 [02:41]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 2 [07:48]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 3 [10:31]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 4 [14:24]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 5 [20:27]
द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 6 [24:11]
त्रिघात मूल के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण [27:56]
दो विधियों का एक साथ उपयोग – उदाहरण [30:45]
HOMEWORK (Test)
गृहकार्य (परीक्षण)

Video (English AI Dubbed Version)27:25
This is the English version of Lesson 3 in dubbed format.
In this lesson I show how to solve sequence limits using the formula that yields the number e.
We will discover where the number e came from in mathematics
This lesson lasts 27 minutes and I present 12 examples.
Table of Contents:
conditions for applying this method [01:14]
formula for the number e [02:04]
limits reducible to the formula for e – examples 1-4 [03:48]
limits reducible to the formula for e – examples 5-6 [10:11]
limits reducible to the formula for e – example 7 [13:25]
limits reducible to the formula for e – example 8 [17:37]
limits reducible to the formula for e – example 9 [19:42]
limits reducible to the formula for e – example 10 [21:28]
Video (English AI Voice-over Version)27:25
This is the English version of Lesson 3 in ai voice-over format.
In this lesson I show how to solve sequence limits using the formula that yields the number e.
We will discover where the number e came from in mathematics
This lesson lasts 27 minutes and I present 12 examples.
Table of Contents:
conditions for applying this method [01:14]
formula for the number e [02:04]
limits reducible to the formula for e – examples 1-4 [03:48]
limits reducible to the formula for e – examples 5-6 [10:11]
limits reducible to the formula for e – example 7 [13:25]
limits reducible to the formula for e – example 8 [17:37]
limits reducible to the formula for e – example 9 [19:42]
limits reducible to the formula for e – example 10 [21:28]
Video (Hindi AI Dubbed Version)27:25
यह डब्ड प्रारूप में पाठ 3 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि अनुक्रमों की सीमाएँ उस सूत्र से कैसे हल की जाएँ, जिसका परिणाम संख्या e देता है।
हम जानेंगे कि गणित में संख्या e कहाँ से आई
यह पाठ 27 मिनट का है और इसमें मैं 12 उदाहरण प्रस्तुत करता/करती हूँ।
विषय-सूची:
इस विधि को लागू करने की शर्तें [01:14]
संख्या e का सूत्र [02:04]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 1-4 [03:48]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 5-6 [10:11]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 7 [13:25]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 8 [17:37]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 9 [19:42]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 10 [21:28]
Video (Hindi AI Voice-over Version)27:25
यह एआई वॉइस-ओवर प्रारूप में पाठ 3 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि अनुक्रमों की सीमाएँ उस सूत्र से कैसे हल की जाएँ, जिसका परिणाम संख्या e देता है।
हम जानेंगे कि गणित में संख्या e कहाँ से आई
यह पाठ 27 मिनट का है और इसमें मैं 12 उदाहरण प्रस्तुत करता/करती हूँ।
विषय-सूची:
इस विधि को लागू करने की शर्तें [01:14]
संख्या e का सूत्र [02:04]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 1-4 [03:48]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 5-6 [10:11]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 7 [13:25]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 8 [17:37]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 9 [19:42]
e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 10 [21:28]
HOMEWORK (Test)
गृहकार्य (परीक्षण)

Video (English AI Dubbed Version)39:18
This is the English version of Lesson 4 in dubbed format.
In this lesson I present the very useful “Three-Sequence Theorem” for computing limits.
It runs 39 minutes and includes 8 step-by-step examples (including one with an infinite series).
Table of Contents:
Three-Sequence Theorem – when applied [01:49]
Three-Sequence Theorem [02:54]
applying the Three-Sequence Theorem – example 1 [06:15]
applying the Three-Sequence Theorem – example 2 [10:45]
applying the Three-Sequence Theorem – example 3 [13:00]
method using the sum of an arithmetic or geometric sequence – when applied [15:16]
formulas for the sum of an arithmetic and a geometric sequence [16:30]
using the sum formulas for arithmetic and geometric sequences – example 1 [21:38]
using the sum formulas for arithmetic and geometric sequences – example 2 [23:52]
using the sum formulas for arithmetic and geometric sequences – example 3 [26:31]
Three-Sequence Theorem (more difficult) – example 1 [29:46]
Three-Sequence Theorem (more difficult) – example 2 [33:29]
Video (English AI Voice-over Version)39:18
This is the English version of Lesson 4 in ai voice-over format.
In this lesson I present the very useful “Three-Sequence Theorem” for computing limits.
It runs 39 minutes and includes 8 step-by-step examples (including one with an infinite series).
Table of Contents:
Three-Sequence Theorem – when applied [01:49]
Three-Sequence Theorem [02:54]
applying the Three-Sequence Theorem – example 1 [06:15]
applying the Three-Sequence Theorem – example 2 [10:45]
applying the Three-Sequence Theorem – example 3 [13:00]
method using the sum of an arithmetic or geometric sequence – when applied [15:16]
formulas for the sum of an arithmetic and a geometric sequence [16:30]
using the sum formulas for arithmetic and geometric sequences – example 1 [21:38]
using the sum formulas for arithmetic and geometric sequences – example 2 [23:52]
using the sum formulas for arithmetic and geometric sequences – example 3 [26:31]
Three-Sequence Theorem (more difficult) – example 1 [29:46]
Three-Sequence Theorem (more difficult) – example 2 [33:29]
Video (Hindi AI Dubbed Version)39:18
यह डब्ड प्रारूप में पाठ 4 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं सीमाएँ निकालने के लिए बहुत उपयोगी “तीन अनुक्रम प्रमेय” प्रस्तुत करता/करती हूँ।
यह 39 मिनट का पाठ है और इसमें 8 क्रमिक उदाहरण हैं (एक उदाहरण अनंत योग के साथ)।
विषय-सूची:
तीन अनुक्रम प्रमेय – कब उपयोग किया जाता है [01:49]
तीन अनुक्रम प्रमेय [02:54]
तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 1 [06:15]
तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 2 [10:45]
तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 3 [13:00]
अंकगणितीय या ज्यामितीय अनुक्रम के योग की विधि – कब उपयोग किया जाता है [15:16]
अंकगणितीय और ज्यामितीय अनुक्रमों के योग के सूत्र [16:30]
योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 1 [21:38]
योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 2 [23:52]
योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 3 [26:31]
तीन अनुक्रम प्रमेय (कठिन) – उदाहरण 1 [29:46]
तीन अनुक्रम प्रमेय (कठिन) – उदाहरण 2 [33:29]
Video (Hindi AI Voice-over Version)39:18
यह एआई वॉइस-ओवर प्रारूप में पाठ 4 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं सीमाएँ निकालने के लिए बहुत उपयोगी “तीन अनुक्रम प्रमेय” प्रस्तुत करता/करती हूँ।
यह 39 मिनट का पाठ है और इसमें 8 क्रमिक उदाहरण हैं (एक उदाहरण अनंत योग के साथ)।
विषय-सूची:
तीन अनुक्रम प्रमेय – कब उपयोग किया जाता है [01:49]
तीन अनुक्रम प्रमेय [02:54]
तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 1 [06:15]
तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 2 [10:45]
तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 3 [13:00]
अंकगणितीय या ज्यामितीय अनुक्रम के योग की विधि – कब उपयोग किया जाता है [15:16]
अंकगणितीय और ज्यामितीय अनुक्रमों के योग के सूत्र [16:30]
योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 1 [21:38]
योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 2 [23:52]
योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 3 [26:31]
तीन अनुक्रम प्रमेय (कठिन) – उदाहरण 1 [29:46]
तीन अनुक्रम प्रमेय (कठिन) – उदाहरण 2 [33:29]
HOMEWORK (Test)
गृहकार्य (परीक्षण)

Video (English AI Dubbed Version)33:25
This is the English version of Lesson 5 in dubbed format.
In this lesson I introduce the concept of limits of functions (so far we dealt only with sequence limits). I show what is new and review the methods you already know – all of which can still be used for functions.
Note: Although the title says “simple”, the simplest function-limit problems can turn out to be the hardest – and I’ll show you how to defend yourself against that.
This lesson is 33 minutes long and I explain the topic through 12 examples.
Table of Contents:
explanation of what a function limit is [02:08]
function limits – 6 basic examples [04:03]
factoring out the highest powers in function limits – 3 examples [14:55]
multiplying by the conjugate in function limits – 3 exam
Video (English AI Voice-over Version)33:26
This is the English version of Lesson 5 in ai voice-over format.
In this lesson I introduce the concept of limits of functions (so far we dealt only with sequence limits). I show what is new and review the methods you already know – all of which can still be used for functions.
Note: Although the title says “simple”, the simplest function-limit problems can turn out to be the hardest – and I’ll show you how to defend yourself against that.
This lesson is 33 minutes long and I explain the topic through 12 examples.
Table of Contents:
explanation of what a function limit is [02:08]
function limits – 6 basic examples [04:03]
factoring out the highest powers in function limits – 3 examples [14:55]
multiplying by the conjugate in function limits – 3 exam
Video (Hindi AI Dubbed Version)33:25
यह डब्ड प्रारूप में पाठ 5 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं फलनों की सीमाएँ प्रस्तुत करता/करती हूँ (अब तक हमने केवल अनुक्रमों की सीमाएँ देखी थीं)। मैं बताता/बताती हूँ कि नया क्या है और पहले सीखी गई सभी विधियों की पुनरावृत्ति करता/करती हूँ – जो बिना अपवाद के फलनों पर भी लागू होती हैं।
ध्यान दें: शीर्षक में “सरल” शब्द होने के बावजूद, फलनों की सबसे सरल सीमाएँ अकसर सबसे कठिन होती हैं – और मैं दिखाऊँगा/दिखाऊँगी कि उनसे कैसे निपटना है।
यह पाठ 33 मिनट का है और मैं इसे 12 उदाहरणों से समझाता/समझाती हूँ।
विषय-सूची:
फलन की सीमा क्या है — स्पष्टीकरण [02:08]
फलन की सीमाएँ – 6 सरल उदाहरण [04:03]
फलन सीमा में उच्चतम घात को बाहर निकालना – 3 उदाहरण [14:55]
फलन सीमाओं में संयुग्म से गुणन – 3 उदाहरण [20:33]
फलन-सीमा से संख्या e प्राप्त करना – उदाहरण [27:45]
Video (Hindi AI Voice-over Version)33:26
यह एआई वॉइस-ओवर प्रारूप में पाठ 5 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं फलनों की सीमाएँ प्रस्तुत करता/करती हूँ (अब तक हमने केवल अनुक्रमों की सीमाएँ देखी थीं)। मैं बताता/बताती हूँ कि नया क्या है और पहले सीखी गई सभी विधियों की पुनरावृत्ति करता/करती हूँ – जो बिना अपवाद के फलनों पर भी लागू होती हैं।
ध्यान दें: शीर्षक में “सरल” शब्द होने के बावजूद, फलनों की सबसे सरल सीमाएँ अकसर सबसे कठिन होती हैं – और मैं दिखाऊँगा/दिखाऊँगी कि उनसे कैसे निपटना है।
यह पाठ 33 मिनट का है और मैं इसे 12 उदाहरणों से समझाता/समझाती हूँ।
विषय-सूची:
फलन की सीमा क्या है — स्पष्टीकरण [02:08]
फलन की सीमाएँ – 6 सरल उदाहरण [04:03]
फलन सीमा में उच्चतम घात को बाहर निकालना – 3 उदाहरण [14:55]
फलन सीमाओं में संयुग्म से गुणन – 3 उदाहरण [20:33]
फलन-सीमा से संख्या e प्राप्त करना – उदाहरण [27:45]
HOMEWORK (Test)
गृहकार्य (परीक्षण)

Video (English AI Dubbed Version)35:44
This is the English version of Lesson 6 in dubbed format.
In this lesson I show how to compute certain function limits using the very popular high-school technique of factoring a polynomial.
This lesson lasts 35 minutes and I work through 11 step-by-step examples.
Table of Contents:
methods of factoring a polynomial (high-school review) [01:26]
limits using factoring (special product formulas) – 3 examples [05:55]
limits using factoring (factoring out a common factor) – 3 examples [13:16]
limits using factoring (discriminant “Δ” method) – 2 examples [21:06]
limits using factoring – 2 examples [25:26]
limits using factoring (grouping) – example [28:53]
Video (English AI Voice-over Version)35:44
This is the English version of Lesson 6 in ai voice-over format.
In this lesson I show how to compute certain function limits using the very popular high-school technique of factoring a polynomial.
This lesson lasts 35 minutes and I work through 11 step-by-step examples.
Table of Contents:
methods of factoring a polynomial (high-school review) [01:26]
limits using factoring (special product formulas) – 3 examples [05:55]
limits using factoring (factoring out a common factor) – 3 examples [13:16]
limits using factoring (discriminant “Δ” method) – 2 examples [21:06]
limits using factoring – 2 examples [25:26]
limits using factoring (grouping) – example [28:53]
Video (Hindi AI Dubbed Version)35:44
यह डब्ड प्रारूप में पाठ 6 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि बहुपद के सर्वाधिक प्रचलित (स्कूल-स्तरीय) गुणनखंडन तकनीक से कुछ फलन सीमाएँ कैसे निकाली जाती हैं।
यह पाठ 35 मिनट का है और मैं इसमें 11 क्रमिक (स्टेप-बाय-स्टेप) उदाहरण हल करता/करती हूँ।
विषय-सूची:
बहुपद का गुणनखंडन (माध्यमिक-स्तर की पुनरावृत्ति) [01:26]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (संक्षिप्त गुणन सूत्र) – 3 उदाहरण [05:55]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (सामान्य गुणनखंड बाहर निकालना) – 3 उदाहरण [13:16]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (डिस्क्रिमिनेंट “Δ” विधि) – 2 उदाहरण [21:06]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना – 2 उदाहरण [25:26]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (समूहकरण) – उदाहरण [28:53]
Video (Hindi AI Voice-over Version)35:44
यह एआई वॉइस-ओवर प्रारूप में पाठ 6 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि बहुपद के सर्वाधिक प्रचलित (स्कूल-स्तरीय) गुणनखंडन तकनीक से कुछ फलन सीमाएँ कैसे निकाली जाती हैं।
यह पाठ 35 मिनट का है और मैं इसमें 11 क्रमिक (स्टेप-बाय-स्टेप) उदाहरण हल करता/करती हूँ।
विषय-सूची:
बहुपद का गुणनखंडन (माध्यमिक-स्तर की पुनरावृत्ति) [01:26]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (संक्षिप्त गुणन सूत्र) – 3 उदाहरण [05:55]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (सामान्य गुणनखंड बाहर निकालना) – 3 उदाहरण [13:16]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (डिस्क्रिमिनेंट “Δ” विधि) – 2 उदाहरण [21:06]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना – 2 उदाहरण [25:26]
गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (समूहकरण) – उदाहरण [28:53]
HOMEWORK (Test)
गृहकार्य (परीक्षण)

Video (English AI Dubbed Version)47:23
This is the English version of Lesson 7 in dubbed format.
In this lesson I show how to transform various limits so that they match the most common formulas with sines, logarithms, etc.
You’ll learn many simple tips for steering a limit toward the right function-limit formula.
This lesson lasts 47 minutes and I walk through 19 different step-by-step examples.
Table of Contents:
limit formulas for functions [01:17]
limits using formulas with sin x, tan x, arcsin x, arctan x – 6 examples [05:39]
limits using formulas with exponential and logarithmic functions – 4 examples [15:12]
limits with sin x and transformations – 2 examples [20:10]
limit using the cosine-difference formula – example [22:57]
formula for the limit with cosine [26:31]
limits with more difficult transformations – example 1 [28:25]
limits with more difficult transformations – example 2 [31:25]
limits with more difficult transformations – example 3 [35:10]
limits with more difficult transformations – example 4 [38:00]
limits with more difficult transformations – example 5 [40:50]
limits with more difficult transformations – example 6 [42:58]
Video (English AI Voice-over Version)47:23
This is the English version of Lesson 7 in ai voice-over format.
In this lesson I show how to transform various limits so that they match the most common formulas with sines, logarithms, etc.
You’ll learn many simple tips for steering a limit toward the right function-limit formula.
This lesson lasts 47 minutes and I walk through 19 different step-by-step examples.
Table of Contents:
limit formulas for functions [01:17]
limits using formulas with sin x, tan x, arcsin x, arctan x – 6 examples [05:39]
limits using formulas with exponential and logarithmic functions – 4 examples [15:12]
limits with sin x and transformations – 2 examples [20:10]
limit using the cosine-difference formula – example [22:57]
formula for the limit with cosine [26:31]
limits with more difficult transformations – example 1 [28:25]
limits with more difficult transformations – example 2 [31:25]
limits with more difficult transformations – example 3 [35:10]
limits with more difficult transformations – example 4 [38:00]
limits with more difficult transformations – example 5 [40:50]
limits with more difficult transformations – example 6 [42:58]
Video (Hindi AI Dubbed Version)47:23
यह डब्ड प्रारूप में पाठ 7 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि विभिन्न सीमाओं को किस प्रकार बदला जाए ताकि वे सर्वाधिक प्रचलित सूत्रों — जैसे sine, लॉगरिदम आदि — के अनुरूप हो जाएँ।
आप कई सरल तरकीबें सीखेंगे जिनसे किसी सीमा को उपयुक्त फलन-सीमा सूत्र तक पहुँचाया जा सकता है।
यह पाठ 47 मिनट का है और इसमें मैं 19 अलग-अलग उदाहरण क्रमिक रूप से समझाता/समझाती हूँ।
विषय-सूची:
फलनों के लिए सीमाओं के सूत्र [01:17]
sin x, tan x, arcsin x, arctan x वाले सूत्रों से सीमाएँ – 6 उदाहरण [05:39]
घातांकीय और लघुगणकीय फलनों वाले सूत्रों से सीमाएँ – 4 उदाहरण [15:12]
sin x के रूपांतरणों वाली सीमाएँ – 2 उदाहरण [20:10]
कोसाइन अंतर वाले सूत्र से सीमा – उदाहरण [22:57]
कोसाइन वाली सीमा का सूत्र [26:31]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 1 [28:25]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 2 [31:25]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 3 [35:10]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 4 [38:00]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 5 [40:50]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 6 [42:58]
Video (Hindi AI Voice-over Version)47:23
यह एआई वॉइस-ओवर प्रारूप में पाठ 7 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि विभिन्न सीमाओं को किस प्रकार बदला जाए ताकि वे सर्वाधिक प्रचलित सूत्रों — जैसे sine, लॉगरिदम आदि — के अनुरूप हो जाएँ।
आप कई सरल तरकीबें सीखेंगे जिनसे किसी सीमा को उपयुक्त फलन-सीमा सूत्र तक पहुँचाया जा सकता है।
यह पाठ 47 मिनट का है और इसमें मैं 19 अलग-अलग उदाहरण क्रमिक रूप से समझाता/समझाती हूँ।
विषय-सूची:
फलनों के लिए सीमाओं के सूत्र [01:17]
sin x, tan x, arcsin x, arctan x वाले सूत्रों से सीमाएँ – 6 उदाहरण [05:39]
घातांकीय और लघुगणकीय फलनों वाले सूत्रों से सीमाएँ – 4 उदाहरण [15:12]
sin x के रूपांतरणों वाली सीमाएँ – 2 उदाहरण [20:10]
कोसाइन अंतर वाले सूत्र से सीमा – उदाहरण [22:57]
कोसाइन वाली सीमा का सूत्र [26:31]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 1 [28:25]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 2 [31:25]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 3 [35:10]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 4 [38:00]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 5 [40:50]
कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 6 [42:58]
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गृहकार्य (परीक्षण)

Video (English AI Dubbed Version)1:03:09
This is the English version of Lesson 8 in dubbed format.
In this lesson I present several new topics connected with function limits – one-sided limits, cases where a function limit does not exist at all, and finally the notion of function continuity itself. I’ll show what to do when a function has no limit at all. You’ll see that continuity problems are usually the easiest limit problems – and why that is so.
This lesson lasts one hour and I work through 20 step-by-step examples (including parameter-based ones).
Table of Contents:
introduction to one-sided limits of functions – 3 examples [01:37]
one-sided limits (including an example with absolute value) – 3 examples [12:47]
one-sided limits (with exponential functions) – 3 examples [19:47]
limit as x approaches minus infinity – example [25:04]
more difficult one-sided limits – 2 examples [30:04]
introduction to continuity of a function – 2 one-sided limits [36:37]
condition for continuity of a function at a point [39:39]
continuity of a function at a point – example 1 [43:14]
continuity of a function at a point – example 2 [46:09]
continuity of a function at a point – example 3 [48:22]
continuity of a function at a point – example 4 [53:11]
continuity with a parameter – problem 1 [56:00]
continuity with a parameter – problem 2 [58:38]
Video (English AI Voice-over Version)1:03:09
This is the English version of Lesson 8 in ai voice-over format.
In this lesson I present several new topics connected with function limits – one-sided limits, cases where a function limit does not exist at all, and finally the notion of function continuity itself. I’ll show what to do when a function has no limit at all. You’ll see that continuity problems are usually the easiest limit problems – and why that is so.
This lesson lasts one hour and I work through 20 step-by-step examples (including parameter-based ones).
Table of Contents:
introduction to one-sided limits of functions – 3 examples [01:37]
one-sided limits (including an example with absolute value) – 3 examples [12:47]
one-sided limits (with exponential functions) – 3 examples [19:47]
limit as x approaches minus infinity – example [25:04]
more difficult one-sided limits – 2 examples [30:04]
introduction to continuity of a function – 2 one-sided limits [36:37]
condition for continuity of a function at a point [39:39]
continuity of a function at a point – example 1 [43:14]
continuity of a function at a point – example 2 [46:09]
continuity of a function at a point – example 3 [48:22]
continuity of a function at a point – example 4 [53:11]
continuity with a parameter – problem 1 [56:00]
continuity with a parameter – problem 2 [58:38]
Video (Hindi AI Dubbed Version)1:03:09
यह डब्ड प्रारूप में पाठ 8 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं फ़ंक्शन सीमाओं से जुड़े कुछ नए विषय प्रस्तुत करता/करती हूँ – एकतरफ़ा सीमाएँ, वे स्थितियाँ जहाँ फ़ंक्शन की सीमा बिल्कुल भी अस्तित्व में नहीं होती, और अंत में स्वयं फलन की सततता का विषय। मैं दिखाऊँगा/दिखाऊँगी कि जब किसी फ़ंक्शन की सीमा बिल्कुल नहीं होती तो क्या करना चाहिए। आप देखेंगे कि सततता वाले प्रश्न आम तौर पर सीमा के सबसे सरल प्रश्न होते हैं – और ऐसा क्यों है।
यह पाठ 1 घंटे का है और इसमें मैं 20 क्रमिक उदाहरण हल करता/करती हूँ (पैरामीटर वाले उदाहरण भी शामिल)।
विषय-सूची:
फलन की एकतरफ़ा सीमाओं का परिचय – 3 उदाहरण [01:37]
एकतरफ़ा सीमाएँ (|x| वाला उदाहरण सहित) – 3 उदाहरण [12:47]
एकतरफ़ा सीमाएँ (घातांकीय फलनों के साथ) – 3 उदाहरण [19:47]
x → −∞ सीमा – उदाहरण [25:04]
कठिन एकतरफ़ा सीमाएँ – 2 उदाहरण [30:04]
फलन की सततता का परिचय – 2 एकतरफ़ा सीमाएँ [36:37]
किसी बिंदु पर फलन की सततता की शर्त [39:39]
बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 1 [43:14]
बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 2 [46:09]
बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 3 [48:22]
बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 4 [53:11]
पैरामीटर-युक्त सततता – प्रश्न 1 [56:00]
पैरामीटर-युक्त सततता – प्रश्न 2 [58:38]
Video (Hindi AI Voice-over Version)1:03:09
यह एआई वॉइस-ओवर प्रारूप में पाठ 8 का हिंदी संस्करण है।
इस पाठ में मैं फ़ंक्शन सीमाओं से जुड़े कुछ नए विषय प्रस्तुत करता/करती हूँ – एकतरफ़ा सीमाएँ, वे स्थितियाँ जहाँ फ़ंक्शन की सीमा बिल्कुल भी अस्तित्व में नहीं होती, और अंत में स्वयं फलन की सततता का विषय। मैं दिखाऊँगा/दिखाऊँगी कि जब किसी फ़ंक्शन की सीमा बिल्कुल नहीं होती तो क्या करना चाहिए। आप देखेंगे कि सततता वाले प्रश्न आम तौर पर सीमा के सबसे सरल प्रश्न होते हैं – और ऐसा क्यों है।
यह पाठ 1 घंटे का है और इसमें मैं 20 क्रमिक उदाहरण हल करता/करती हूँ (पैरामीटर वाले उदाहरण भी शामिल)।
विषय-सूची:
फलन की एकतरफ़ा सीमाओं का परिचय – 3 उदाहरण [01:37]
एकतरफ़ा सीमाएँ (|x| वाला उदाहरण सहित) – 3 उदाहरण [12:47]
एकतरफ़ा सीमाएँ (घातांकीय फलनों के साथ) – 3 उदाहरण [19:47]
x → −∞ सीमा – उदाहरण [25:04]
कठिन एकतरफ़ा सीमाएँ – 2 उदाहरण [30:04]
फलन की सततता का परिचय – 2 एकतरफ़ा सीमाएँ [36:37]
किसी बिंदु पर फलन की सततता की शर्त [39:39]
बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 1 [43:14]
बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 2 [46:09]
बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 3 [48:22]
बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 4 [53:11]
पैरामीटर-युक्त सततता – प्रश्न 1 [56:00]
पैरामीटर-युक्त सततता – प्रश्न 2 [58:38]
HOMEWORK (Test)
गृहकार्य (परीक्षण)

Requirements

You do NOT need any prior knowledge of limits or calculus – the course starts from absolute zero.
Be able to add, subtract, multiply and divide fractions (middle-school level).
Feel comfortable simplifying basic algebraic expressions and factoring out a common term.
Know the school order of operations (BODMAS / PEMDAS).
Have a notebook & pen (or digital notes app) to practise problems as you watch.
Access to a smartphone / laptop with internet for streaming the lessons.

Description

Struggling with Calculus limits in Maths-II? Proofs, infinite limits and indeterminate forms giving you instant brain-freeze? This course is built exactly for students like you — Limits Course for Indian Engineering Students, explained step-by-step.

We teach limits the way a sharp senior would teach in the hostel — simple English + crisp Hindi tone, without overcomplicated theory talk .
You start with the intuitive idea of limits, then move through one-sided limits, graphical–numerical checks, algebraic tricks (factorisation, rationalisation), special trigonometric limits, infinite limits, limits at infinity, and the full connection to continuity.

What you get inside:

8 HD modules (350+ minutes)
120 fully-solved examples — each step explained clearly
80+ quiz questions based on actual Indian exam patterns
Downloadable notes + formula sheet
Offline-friendly MP4 videos — power cut or low data won’t stop your revision

Every topic is designed according to what Indian colleges actually ask — same patterns, same traps, same shortcuts that work in exams.

With lifetime access, you can come back anytime before mid-sem, end-sem, JEE revision cycles, or placement tests.

If limits are pulling down your marks, this course will help you boost your score, avoid backlogs, improve CGPA, and strengthen your calculus base for JEE-level problem-solving.

Enroll now and learn limits properly — no confusion, no drama, just crystal-clear explanations and solid practice designed for real exams.

Who this course is for:

First-year Indian B Tech / B Sc students who meet limits for the first time and feel lost in Calculus-I or Engineering Maths-II
Commerce or Economics undergraduates (B Com, BBA) struggling with the limits chapter in Quantitative Techniques
Repeater or back-paper students who need a clear, Hindi-friendly refresher to finally pass their maths exam and keep their CGPA or scholarship
School-to-college bridge learners—Class 12 graduates preparing for university and wanting a head-start before regular classes begin
Self-taught learners & competitive-exam aspirants (GATE, CAT Quant, banking exams) who require a solid grasp of limits without expensive coaching
Anyone who says “I’m scared of Calculus” but can add, subtract, multiply and divide fractions and simplify basic algebra

Master Limits & Continuity: Engineering Maths Crash

What you'll learn

Explore related topics

Course content

Introduction to limits of sequences. Factoring out the highest power.4 lectures • 5hr 4min

Multiplying by the conjugate. कॉन्जुगेट (सापेक्षांक) से गुणन.4 lectures • 2hr 21min

Limits using the definition of e. संख्या e के सूत्र से सीमाएँ |4 lectures • 1hr 50min

Three-Sequence Theorem. Sums of arithmetic and geometric sequences.4 lectures • 2hr 37min

Basic limits of functions. Review of sequence-limit techniques.4 lectures • 2hr 14min

Factorization. गुणनखंडन |4 lectures • 2hr 23min

Limit formulas for functions. फलनों के लिए सीमा सूत्र |4 lectures • 3hr 10min

One-sided limits of functions. Continuity of functions.4 lectures • 4hr 13min

Requirements

Description

Who this course is for: