線形代数の理論とPythonによる実践

線形代数への入口として，連立一次方程式の復習を行います．

まずは，確実に理解していることから始めます．自身のある方もそうでない方も，初心に戻ってスタートしてください．

【問題】

3種類のコーヒー豆A, B, Cを購入しました．100g当たりの単価はそれぞれ800円, 400円, 100円です．合計金額は2,000円でした． A, B, C合わせて700g購入しましたが，A, B合計量はCの量より100g少なかったです． A, B, Cそれぞれ何g購入したか求めよ．

演習問題の解答です．

これまで説明してきた連立方程式の解説を文書化してpdfファイルとして添付いたしました．ダウンロードして，復習にご活用ください．

ここでは，連立一次方程式の解法の一つであるGauss-Jordanの消去法について，例題を用いて説明します．

Gauss-Jordanの消去法を連立一次方程式の係数を記号にした場合で説明します．

Gauss-Jordanの消去法の例題および一般の方程式での説明をpdfファイルとして添付しました．ダウンロードして，復習にご活用ください．

連立一次方程式の変数の個数と式の個数の関係について確認します．

連立一次方程式の解には次の3種類のパターンがあります．

• 解が一意的に存在するケース

• 解が無限に存在するケース

• 解が存在しないケース

ここでは，それらのケースについて紹介します．

それぞれの解のパターンについて，グラフを描いて幾何学的な意味を確認します．

「変数の個数と式の個数について」から「解の幾何学的解釈」までの説明をpdfファイルにまとめて，資料として添付しています．

Pythonのグラフのプログラムが載っていますので，pdfファイルをダウンロードして参考にしてください．

スカラー，ベクトル，行列の定義について確認します．

Pythonにおけるスカラー，ベクトル，行列の扱い方をJupyter notebookを使って説明しています．

添付ファイルとして，Jupyter notebookのファイルをzipにしたものを載せてますので，ダウンロード，解凍してご利用ください．

また，スカラー，ベクトル，行列の説明資料もpdfファイルとして添付しています．

ベクトルのスカラー倍やベクトルの足し算などについて説明します．

ベクトルのスカラー倍やベクトルの足し算のPythonにおける実行方法をJupyter notebookで説明します．

また，説明資料のpdfファイルも添付してありますので，ダウンロードしてご参照ください．

ベクトル演算の演習問題です．問題をpdfファイルとして添付してありますので，ダウンロードしてご利用ください．

ベクトル演算の演習問題の解答です．この解答の文書はpdfファイルとして添付してありますのでダウンロードして参照してください．

行列の足し算や積についての定義を学習します．

Pythonにおける行列の演算について，Jupyter notebook上で説明しています．

説明資料のpdfファイルを添付いたしましたので，ダウンロードしてご参照ください．

行列の積の定義が何故そうなっているのかを解説しています．

説明資料のpdfファイルを添付いたしましたので，ダウンロードしてご参照ください．

Pythonにおけるベクトルの扱いは数学における厳密な定義とは異なる仕様になっています．このことについての説明を行います．

説明資料のpdfファイルを添付いたしましたので，ダウンロードしてご参照ください．

線形代数に現れる代表的な行列を紹介します．

これらの説明資料のpdfファイルを添付いたしましたので，ダウンロードしてご参照ください．

行列演算についての演習問題です．問題はpdfファイルとして添付してありますので，ダウンロードしてご利用ください．

演習は，紙の上で手計算で解答した後に，Pythonでご確認ください．

行列演算の演習問題の解答です．この解答の文書はpdfファイルとして添付してありますので，ダウンロードして参照してください．

これからの準備として，添え字付き変数と添え字付き定数に慣れておきましょう．

集合についての初歩的な説明を行います．

さらに，説明の詳細を記述した資料をpdfファイルとして添付してありますので，ダウンロードしてご参照ください．

数学を学習する上で必要となる論理の初歩手な説明を行います．

さらに，説明の詳細を記述した資料をpdfファイルとして添付してありますので，ダウンロードしてご参照ください． 

線形代数の基礎である写像について説明します．

さらに，説明の詳細を記述した資料をpdfファイルとして添付してありますので，ダウンロードしてご参照ください．

写像としての二項関係と二項演算について説明します．

説明の詳細を記述した資料をpdfファイルとして添付してありますので，ダウンロードしてご参照ください． 

数学における重要な概念である「群」について，「置換」を用いて説明します．

正則行列を要素とする一般線形群について説明します．

数学の証明において頻繁に使用される数学的帰納法について説明します．

ベクトル空間の定義について説明します．

ベクトル空間の例として，n次多項式の集合がベクトル空間であることを紹介します．

ベクトル空間における基礎的な概念である線形結合，基底，および座標について説明します．

ベクトルの線形結合によって生成される部分空間について説明します．

ベクトル空間を幾何学的に解釈して，分かりやすいイメージを身に付けていきます．

ベクトル空間上の線形写像の定義と例について説明します．

線形写像の代表的な例である拡大縮小および回転について説明します．

線形写像を表す表現行列について説明します．

回転写像および表現行列の応用として，三角関数の加法定理を導きます．

ベクトル空間の同型について説明します．

線形写像の表現行列の列ベクトル空間について説明します．

列ベクトル空間による解の存在定理について説明します．

行列の核（カーネル）について説明します．さらにカーネルを使って解の一意性を示します．

レクチャー「線形写像と部分空間」，「列ベクトル空間と解の存在」，「行列の核と解の一意性」についての説明資料です．

一意的に解ける連立一次方程式をGaussの消去法によって解いていきます．

方程式の解を求めるために利用する行列の基本変形について説明します．

連立一次方程式を行列に変えて，行列に対するGauss消去法の前進消去を説明します．

式の入替えを行わなくても一意的に解ける連立一次方程式に付随する係数行列のLU分解について説明します．

LU分解の続きとしてLDU分解について説明します．

行列でのGaussの消去法から行列のLDU分解の説明資料です．

Gaussの消去法とLU分解についての理論のまとめです．

また，Gaussの消去法に数学的帰納法の考え方が使われていることも説明します．

Gauss消去法の前進消去の途中で行の入替えが発生する場合の連立一次方程式を扱います．

式の入替えが発生する連立一次方程式を行列に置き換えて考えていきます．

行の入替えが発生する場合のPA=LU分解について説明します．

前のレクチャーで求めたPA=LU分解の結果をPythonによって検証します．

ここで使用したJupyter notebookのファイルをzipファイルとして添付してありますので，ダウンロードして，ご自身のJupyter notebook環境でご利用ください．

行の入替えによる前進消去を最初から実施する手戻りの回避方法について説明します．

LU分解の演習問題です．

対象となる行列をPythonで定義すると次のようになります．

A =numpy.array([[1,2,-1],[2,6,-2],[3,4, 1]])

LU分解についての演習問題の解答です．

解答のpdfファイルも添付してありますので，ご利用ください．

連立一次方程式の解のパターンについて，これまで学習した行列による解釈を確認します．

取扱う連立方程式を一般化して，n行m列の係数行列の場合についてLU分解を考えていきます．

一般の行列のLU分解について，具体的な例を用いて説明します．

手計算で行った一般の行列のLU分解をJupyter notebook上でPythonで追体験します．

この詳細文書はpdfファイルとして添付してありますので，ダウンロードしてご参照ください．

一般行列のLU分解に引き続いて，一般解を求めます．

PA-LU分解からさらに進めてPA-LDU分解を求めます．

ニューラルネットワークや微分方程式の解法などにおいて，線形代数は重要な基盤となっています．

ディープラーニングにおけるニューラルネットワークをプログラムで実施するには線形代数が必要であることを説明します．

微分方程式の数値解法においても線形代数が重要であることを説明します．

行列式の意味と定義について説明します．また，2次正方行列の行列式を求める公式を提示します．

3次以上の行列の行列式を求めるための余因子展開について説明します．