Introducción al Cálculo de Probabilidades

Ejemplo de cálculo de probabilidades en base a la definición de Laplace. Determinación del espacio muestral para realizar el cálculo de la probabilidad de sucesos Mutuamente Excluyentes (MeX).

Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 azules y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que:

a) Sea roja.

b) Sea verde.

c) Sea azul.

d) No sea roja.

e) No sea azul.

Ejemplo de cálculo de probabilidades en base al análisis de sucesos Incompatibles o Mutuamente Excluyentes. Análisis de los sucesos complementarios que no resultan MeX entre si.

Ejercicio 02_ Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 azules y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o azul? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea azul?

Ejemplo de cálculo de probabilidades de eventos sucesivos y donde la probabilidad del segundo suceso esta condicionada por la ocurrencia o no del primer suceso. Experimentos con Reposición y sin Reposición.

 Ejercicio 03_ Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra.

a) Escribir el espacio muestral cuando la primera bola NO se devuelve a la urna antes de sacar la segunda (sin Reposición).

b) Escribir el espacio muestral cuando la primera bola SI se devuelve (con Reposición).

C) Cual es la probabilidad de sacar una blanca y una negra (en cualquier orden), analizar las dos situaciones (sin y con reposición)

d) Cual es la probabilidad de sacar dos bolas blancas, analizar las dos situaciones (sin y con reposición)

Ejemplo de Análisis de espacios muestrales de experimentos con elementos repetidos y con Reposición y sin Reposición.

Ejercicio 04_ Se sacan dos bolas de una urna que se compone de tres bolas blancas, dos rojas. Escribir el espacio muestral cuando:

a) La primera bola NO se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. (sin Reposición)

b) La primera bola se devuelve. (con Reposición)

c) Calcular la probabilidad de obtener dos blancas sin Reposición.

d) Calcular la probabilidad de obtener dos blancas con Reposición.

Ejemplo de Análisis de espacios muestrales y de cálculos de Probabilidad cuando hay sucesos independientes.

Ejercicio 05_ Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

a) Espacio muestral.

b) La probabilidad de que salga el 7.

c) La probabilidad de que el número obtenido sea par.

d) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

Ejemplo dónde se calcula las probabilidades conjuntas de sucesos independientes a partir del supuesto que dos sucesos son Independientes (Ind). Utilización de diagramas de Venn.

Ejercicio 06_ Un artículo tiene dos tipos de fallas independientes (A y B). El 30 % de los artículos tiene la falla A y el 42% no tiene fallas. Calculen la probabilidad de que un artículo elegido al azar tenga solamente una falla

Ejemplo dónde se analiza la ocurrencia de sucesos que no son mutuamente excluyentes y que no sabemos si son o no Independientes. (Ind).

Ejercicio 07_ En un curso de 50 alumnos 22 aprobaron Física y 12 Matemática. Si se sabe además que 6 de ellos aprobaron las dos asignaturas.

a) Si se elige al azar un alumno y resulta que no aprobó Física, hallen la probabilidad de que haya aprobado matemática.

b) Si se elige un estudiante al azar y resulta que aprobó alguna de las dos materias, calculen la probabilidad de que haya aprobado Física.

c) Si se elige un estudiante al azar y resulta que no aprobó alguna de las dos materias, calculen la probabilidad de que la no aprobada sea Física.

Ejemplo dónde se analiza el experimento y los sucesos que pueden obtenerse de extraer un naipe de un mazo de poker.

Ejercicio 08_ De una baraja francesa (con 2 comodines) extraigo un naipe, calcular:

a) La probabilidad de obtener un As.

b) Probabilidad de obtener un Diamante.

c) la probabilidad de obtener el As de Diamantes. d) Probabilidad de obtener As o Diamantes

Cómo pensar y relacionar las probabilidades de Sucesos de acuerdo al tipo de suceso, independientemente de cómo fueron calculadas. 

Ejercicio 09_ Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar:

a) la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

b) Probabilidad de que sea Mujer y tenga Ojos Castaños.

c) Probabilidad que sea hombre y tenga ojos castaños

d) Probabilidad que sea Mujer, sabiendo que tiene ojos castaños.

Ejemplo dónde se analizan los sucesos compuestos por otros dos sucesos que terminan siendo Independientes entre si.

Ejercicio 10_ Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de APROBAR un examen. La probabilidad de que APRUEBEN el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes APRUEBE el examen. Los resultados de los exámenes, ¿Son independientes?

Ejemplo dónde se analizan los sucesos compuestos por otros dos sucesos que son dependientes. Análisis mediante un diagrama de Árbol.

Ejercicio 11_ Un deposito recibe elemento producidos entres Fabricas diferentes. De la fabrica A recibe el 20%, de la B el 10% y de la C el 70% de los elementos que almacena (“Mezclándolos Bien”). La fabrica A produce los elementos con 5 % de elementos defectuosos, la B con un 2% y la C con un 3% de elementos defectuosos.

Se selecciona al azar un elemento del Depósito. Calcular:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la Fábrica A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en A y sea defectuoso?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (sin importar dónde fue producido).

Ejemplo dónde se analiza la probabilidad de falla de un circuito compuesto por tres componentes conectados en paralelo y en serie.

Ejercicio 12_ Un sistema consiste en la implementación de dispositivos A, B y C en serie y en paralelo como muestra la figura.

Para que el sistema funcione correctamente, la señal debe viajar desde la “Entada” hasta la “Salida” por alguno de los caminos posibles. Si algún dispositivo falla interrumpe el paso de la señal. 

Si la Probabilidad de que A funcione correctamente es 0.9, la de que B funcione correctamente es 0,7 y la de C es 0,5.

a) Calcular la probabilidad de que el Sistema Funcione correctamente

b) La probabilidad de que NO funcione correctamente.

Ejemplo dónde se analiza la probabilidad Total de un seceso que depende de la ocurrencia o no de otro previo. Ejemplo típico, dónde luego aplicaremos el Teorema de Bayes.

Ejercicio 13_ Disponemos de tres cajas iguales pero con distinto contenido. La caja I contiene 2 bolillas blancas y una Negra, la II contiene 10 blancas y 20 negras y la III contiene 30 blancas, 10 negras y 5 rojas.

La probabilidad de seleccionar cualquiera de las cajas es la misma (equiprobables).

El experimento consiste en elegir una caja al azar y luego extraer una bolilla, para este experimento calcular:

a) la probabilidad de obtener una BLANCA

b) la probabilidad de obtener una NEGRA

c) la probabilidad de obtener una ROJA

Ejemplo dónde se analiza la probabilidad Total de un seceso que depende de la ocurrencia o no de otro previo.

Ejercicio 14_ Disponemos de tres cajas pero con distinto contenido. La caja I contiene 2 bolillas blancas y una Negra, la II contiene 10 blancas y 20 negras y la III contiene 30 blancas, 10 negras y 5 rojas.

La probabilidad de seleccionar una de las cajas esta determinada por el lanzamiento de un dado. Si el dado muestra 1 se selecciona la caja I , si sale 2 se selecciona la caja II y de otro modo se selecciona la caja III.

El experimento consiste en sortear/seleccionar con el dado una caja y luego extraer de ella una bolilla, para este experimento calcular:

a) la probabilidad de obtener una BLANCA

b) la probabilidad de obtener una NEGRA

c) la probabilidad de obtener una ROJA

Explicación del Teorema para calcular la probabilidad de que un suceso haya ocurrido en base a otro suceso dependiente del primero pero cuya ocurrencia es un hecho cierto.

Ejemplo dónde se aplica el Teorema o Regla de BAYES.

Ejercicio 15_ En un depósito reciben mercaderías de dos fábricas que trabajan en relación 2:3. El 10 por ciento de los artículos que se producen en la primera fábrica son defectuosos. Para la segunda fábrica ese porcentaje es del 5%. Si se toma un artículo al azar del depósito, calculen:

a) la probabilidad de que sea defectuoso.

b) Si es elige un artículo al azar y resulta estar fallado, calculen la probabilidad de que provenga de la primera fábrica.

Ejemplo dónde se aplica el Teorema o Regla de BAYES.

Ejercicio 16_ En una agencia de viajes se han vendido pasajes a distintas personas. Se vendieron 1000 tickets de Avión (600 a hombres y 400 a mujeres), 500 tickets de Cruceros (250 a hombres y 250 a mujeres), 2000 tickets de Bus (300 a hombres y 1700 a mujeres) y finalmente 1500 tickets de Tren (500 a hombres y 1000 a mujeres).

Se hace un sorteo entre todos los pasajes vendidos y lo gana una mujer. Calcular probabilidad de que el pasaje ganador corresponda a un ticket de Tren.

Ejemplo dónde se aplica el Teorema o Regla de BAYES.

Ejercicio 17_ Un detector de mentiras es tal que cuando se le aplica a una persona inocente, lo considera culpable con probabilidad 0,05, por otro lado, cuando se le aplica a una persona culpable, lo considera inocente con probabilidad 0,12. Suponiendo que el 18% de los que pasan por la prueba son realmente culpables, calculen la probabilidad de que una persona considerada culpable por el test sea realmente inocente