Estadística: Ji-cuadrada y análisis de varianza con Excel

En las pruebas de dos muestras examinamos la diferencia entre dos medias o entre dos proporciones e intentamos averiguar si esta diferencia era significativa.

Las pruebas ji-cuadrada nos permiten probar si más de dos proporciones de población pueden ser consideradas iguales.

Suponga que en cuatro regiones, la Compañía Nacional de Cuidado de la Salud, de Estados Unidos, muestrea las actitudes de los empleados de sus hospitales respecto a la evaluación del desempeño en el trabajo. Los trabajadores eligen entre el método actual (dos evaluaciones al año) y un nuevo método propuesto (evaluaciones trimestrales).

El presidente de una Compañía de Seguros de Salud, se opone al seguro nacional de salud. Argumenta que su implementación sería muy costosa, en particular debido a que la existencia de este sistema tendería a fomentar permanencias hospitalarias más prolongadas, además de otros efectos. Piensa que el tiempo de hospitalización depende del tipo de seguro de salud que tengan las personas.

Un gerente de marca está preocupado porque la participación de mercado de su marca se distribuye en forma dispareja en el país. En una encuesta en la que se dividió al país en cuatro regiones geográficas, se tomó un muestreo aleatorio de 100 consumidores en cada región, con los siguientes resultados:

Una agencia de publicidad intenta determinar la composición demográfica del mercado para un nuevo producto. Seleccionaron al azar 75 personas de cada uno de 5 grupos de edad y les presentaron el producto. Los resultados de la encuesta son los siguientes:

Para ver si las ventas de chips de silicio son independientes del punto del ciclo de negocios en que se encuentre la economía de Estados Unidos. Se han recogido datos de las ventas semanales de una empresa de chips, y datos acerca de si la economía de Estados Unidos subía al pico del ciclo, estaba en el pico, iba a la baja o estaba en el punto bajo.

Un asesor financiero está interesado en las diferencias de estructura de capital respecto a compañías de distintos tamaños dentro de cierta industria. El asesor investiga un grupo de empresas con activos de diferentes cantidades y las organiza en tres grupos. Clasifica cada compañía según si su débito total es mayor que la cantidad de acciones ordinarias de los accionistas o si es menor que éstas.

Un editor de periódicos que trata de determinar con precisión las características de su mercado, se pregunta si la costumbre de leer diarios en la comunidad se relaciona con el nivel educativo de las personas. Pregunta a los adultos del área acerca de su nivel educativo y a la frecuencia con que leen el periódico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Un educador opina que las calificaciones obtenidas por los alumnos de bachillerato dependen del tiempo que pasan escuchando música. Para probar esta teoría, ha repartido al azar 400 cuestionarios entre estudiantes. En ellos hay dos preguntas: ¿cuántas horas por semana escuchas música?, ¿qué promedio general de calificaciones tienes? Los datos de la encuesta se presentan en la tabla siguiente. Utilizando un nivel de significancia del 5%, pruebe si las calificaciones y el tiempo dedicado a escuchar música son independientes o dependientes.

Para la siguiente tabla de contingencia, calcule las frecuencias observadas y esperadas y el estadístico jicuadrada. Establezca y pruebe las hipótesis apropiadas al nivel de significancia de 0.05.

Una gran empresa vende ropa informal para adulto con una estrategia de “valor”: buena calidad a un precio razonable. En 1986, la compañía inició una nueva división para niños, con tiendas separadas que ofrecen ropa similar para niños de entre 2 y 12 años. Después de varios años de expansión rápida en Estados Unidos, la empresa empezó a abrir tiendas en Canadá y el Reino Unido. Para el tercer trimestre de 1992, el número de tiendas en operación era:

Los inventores y las compañías internacionales saben del valor de una patente estadounidense para proteger sus ideas, y en años recientes, han recibido casi la mitad de las patentes otorgadas.

a) Construya una tabla de frecuencias observadas y esperadas.

b) Calcule el estadístico ji-cuadrada.

c) Establezca las hipótesis nula y alternativa.

d) Al nivel de significancia de 0.05, ¿deberá rechazarse la hipótesis nula?

Una compañía naviera tiene tres tipos de embarcaciones: navíos cargueros, transportadores de productos petroleros (TPP) y buques-tanque. Algunos de estos barcos están contratados a largo plazo y transportan bienes para un proveedor durante varios años.

a) Construya una tabla de frecuencias observadas y esperadas.

b) Calcule el estadístico ji-cuadrada.

c) Establezca las hipótesis nula y alternativa.

d) Al nivel de significancia de 0.01, ¿deberá rechazarse la hipótesis nula?

Un instrumento de precisión está garantizado para leer con precisión con variación de no más de 2 unidades. Una muestra de cuatro lecturas de instrumentos en el mismo objeto dió las mediciones 353, 351, 351 y 355. Pruebe la hipótesis nula de que desviación estándar de la población es igual a .7 contra la alternativa de desviación estándar de la población es menor a .7. Use un nivel de significancia de .05.

Podemos calcular un intervalo de confianza para la varianza de la población con un nivel de significancia (o coeficiente de confianza) de 1-alfa

Una experimentadora está convencida de que su instrumento de medición tenía una variabilidad medida por la desviación estándar s 2. Durante un experimento, ella registró las mediciones 4.1, 5.2 y 10.2. ¿Estos datos confirman o desaprueban lo dicho por ella? Pruebe la hipótesis apropiada y construya un intervalo de confianza de 90% para estimar el verdadero valor de la varianza de población.

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• La prueba ji-cuadrada puede utilizarse para decidir si una distribución de probabilidad en particular, como la binomial, la de Poisson o la normal, es la apropiada.

• La prueba ji-cuadrada nos permite probar si existe una diferencia significativa entre una distribución de frecuencias observada y una distribución de frecuencias teórica.

Para el nivel de significancia de 0.10, ¿se puede concluir que las siguientes 400 observaciones siguen una distribución de Poisson con λ=3?

Después de años de trabajar en una estación de pesado para camiones, el operador siente que el peso por camión (en miles de libras) sigue una distribución normal con mu= 71 y delta=15.

Un vendedor de una compañía, debe visitar cinco cuentas diariamente. Se sugiere que la variable “ventas del señor X” puede describirse mediante la distribución binomial y con una probabilidad de venta para cada cuenta de 0.4.

El coordinador de computación en la escuela de administración cree que el tiempo que un estudiante de posgrado dedica a leer y escribir correos electrónicos cada día de la semana tiene una distribución normal con mu=14 y desviación estándar =5.

Para determinar cuánto efectivo debe mantener en la bóveda, un banco quiere determinar si el depósito promedio de un cliente tiene distribución normal. Un nuevo empleado, en busca de un aumento, recolectó los siguientes datos.

Una comisión de lotería estatal afirma que para un nuevo juego de lotería hay una posibilidad del 10% de obtener un premio de $1.00, una posibilidad del 5% de obtener un premio de $100.00 y una posibilidad del 85% de no obtener premio. Para probar si esta afirmación es correcta, un ganador del último juego compró 1,000 boletos para la nueva lotería.

El gerente de un supermercado lleva un registro de la llegada de clientes a las cajas para determinar cuántas debe mantener abiertas para manejar el flujo. En una muestra de 500 períodos de cinco minutos, hubo 22, 74, 115, 95, 94, 80 y 20 periodos con 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 o más clientes, respectivamente.

Un jugador profesional de béisbol estuvo al bate cinco veces en cada uno de 100 juegos. El jugador asegura que tiene una probabilidad de 0.4 de pegar un hit cada vez que batea. Pruebe esta afirmación al nivel de significancia de 0.05, verificando si los datos tienen una distribución binomial ( p=0.4).

Existen 33 orquestas sinfónicas importantes en Estados Unidos. El número de conciertos dados por cada una durante 1989 se lista y resume en la siguiente tabla. No queda claro de manera inmediata si estas orquestas pueden considerarse representativas de una sola población o si existen varios tipos diferentes (pequeña, media y grande), diferenciadas por el número de conciertos que dan al año.

Los inventores y las compañías internacionales saben del valor de una patente estadounidense para proteger sus ideas, y en años recientes, han recibido casi la mitad de las patentes otorgadas. A partir de los datos de la siguiente tabla, ¿ha habido un cambio significativo en la proporción de patentes originadas fuera de Estados Unidos en los últimos 10 años? Pruebe para 0.05.

• Después de años de trabajar en una estación de pesado para camiones, el operador siente que el peso por camión (en miles de libras) sigue una distribución normal con mu= 71 y delta=15.

• Con el objeto de probar esta suposición, el operador recolecta los siguientes datos un lunes y registra el peso de cada camión que llega a su báscula.

Un jugador profesional de béisbol estuvo al bate cinco veces en cada uno de 100 juegos. El jugador asegura que tiene una probabilidad de 0.4 de pegar un hit cada vez que batea. Pruebe esta afirmación al nivel de significancia de 0.05, verificando si los datos tienen una distribución binomial ( p=0.4). (Nota: combine clases si el número esperado de observaciones es menor que 5).

Existen 33 orquestas sinfónicas importantes en Estados Unidos. El número de conciertos dados por cada una durante 1989 se lista y resume en la siguiente tabla. No queda claro de manera inmediata si estas orquestas pueden considerarse representativas de una sola población o si existen varios tipos diferentes (pequeña, media y grande), diferenciadas por el número de conciertos que dan al año. Si existen diferentes tipos de orquestas.

Una persona asegura tener poderes psíquicos. Dice que puede adivinar correctamente el palo (diamantes, espadas, tréboles, corazones) de una carta escogida al azar con una probabilidad de 0.5. Debido a que las cartas se escogen aleatoriamente de una baraja, podemos suponer que las adivinanzas de esta persona son independientes.

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El análisis de varianza está basado en una comparación de dos estimaciones diferentes de la varianza de nuestra población total.

1. Determinar una estimación de la varianza de la población a partir de la varianza entre las medias de la muestra.

2. Determinar una segunda estimación de la varianza de la población desde la varianza dentro de las muestras.

3. Comparar las dos estimaciones. Si su valor es aproximadamente igual, acepta la hipótesis nula.

1. Varianza sobre columnas

2. Grados de libertad del numerador: (número de muestras - 1)

3. Grados de libertad del denominador: NT-k

Un estudio compara los efectos sobre las ventas de 4 promociones de un mes en el punto de venta. Presentamos las ventas unitarias de 5 tiendas que utilizaron las 4 promociones en meses distintos:

Se compararon tres métodos de capacitación para ver si los empleados tienen una mayor productividad después de capacitarse. Los datos que se presentan a continuación son medidas de la productividad de los individuos capacitados por cada método.

Los datos siguientes indican el número de solicitudes de pago de seguro procesadas diariamente por un grupo de cuatro empleados de aseguradoras observados durante cierto número de días. Pruebe la hipótesis de que las solicitudes medias de los empleados por día son las mismas. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Dadas las siguientes mediciones de cuatro muestras, ¿podemos concluir que vienen de poblaciones que tienen el mismo valor medio? Utilice el nivel de significancia de 0.01.

El gerente de una línea de ensamble de una planta manufacturera de relojes decidió estudiar de qué manera las diferentes velocidades de la banda transportadora afectan la tasa de unidades defectuosas producidas en un turno de 8 horas.

El supervisor de seguridad de una tienda departamental grande desea saber si el personal de seguridad sorprende a una cantidad relativamente mayor de ladrones durante la temporada navideña que en las semanas anteriores o posteriores.

Una compañía de investigación diseñó tres sistemas diferentes para limpiar manchas de aceite. La siguiente tabla contiene los resultados, medidos por el área (en metros cuadrados) que se limpia en una hora.

Los fabricantes de chips de silicio requieren los llamados cuartos limpios, donde el aire se filtra de manera especial para mantener el número de partículas de polvo al mínimo. Un fabricante desea asegurarse de que cada uno de sus cinco cuartos limpios tenga el mismo número de partículas de polvo.

Una compañía ofrece clones de cuatro marcas famosas de pantalones jeans. La tienda desea ver si existen diferencias en el número de pantalones vendidos de cada marca. El gerente ha contado los pantalones vendidos de cada marca en varios días. Al nivel de significancia de 0.05, ¿son iguales las ventas de las cuatro marcas?

Una cadena de comida rápida está adquiriendo una mala reputación debido a que tardan mucho en servir a los clientes. Como la cadena tiene cuatro restaurantes en esa ciudad, quiere saber si los cuatro restaurantes tienen el mismo tiempo promedio de servicio. Uno de los dueños de la cadena ha decidido visitar cada local y registrar el tiempo de servicio para 5 clientes escogidos al azar.

Una cadena de comida rápida está adquiriendo una mala reputación debido a que tardan mucho en servir a los clientes. Como la cadena tiene cuatro restaurantes en esa ciudad, quiere saber si los cuatro restaurantes tienen el mismo tiempo promedio de servicio. Uno de los dueños de la cadena ha decidido visitar cada local y registrar el tiempo de servicio para 5 clientes escogidos al azar.

Las tiendas establecen sus precios, pero los fabricantes tienen interés en el precio de venta final como parte de su estrategia de promoción. El gerente de mercadotecnia de los bolígrafos marca C se queja de que el resultado de un recorte de precios excesivo en las tiendas es que la marca C se percibe como una “pluma corriente”.

Una compañía publicitaria de espectaculares debe saber si hay volúmenes de tránsito significativamente distintos que pasen frente a anuncios situados en tres lugares en Newark, debido a que la compañía cobra precios diferentes dependiendo de la cantidad de autos que pasan frente al anuncio.

Un inversionista está interesado en ver si existen diferencias significativas en las tasas de rendimiento de acciones, bonos y fondos mutuos. Ha tomado muestras aleatorias de cada tipo de inversión y ha registrado los siguientes datos:

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1. Se tiene que hacer inferencias sobre la variabilidad de una población.

2. La distribución de la varianza de la muestra

3. Intervalos de confianza para la varianza de población

4. Prueba de dos colas de una varianza

En respuesta a muchas quejas respecto a la tardanza del correo, el director general del servicio postal inicia una investigación preliminar. Un investigador da seguimiento a nueve cartas desde Nueva York hasta Chicago, para estimar la desviación estándar del tiempo de entrega.

Una muestra de 20 observaciones de una distribución normal tiene media de 37 y varianza de 12.2. Construya un intervalo de confianza del 90% para la varianza verdadera de la población.

Se tiene la hipótesis de que la desviación estándar de una distribución es 50. Si una muestra observada de 30 elementos produce una desviación estándar de muestra de 57, ¿deberemos rechazar la hipótesis nula de que la desviación estándar verdadera es 50? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Un fabricante de telescopios desea que sus aparatos tengan desviaciones estándar en su resolución que sean significativamente menores que 2 al enfocar un objeto a una distancia de 500 años luz. Cuando se usa un nuevo telescopio para enfocar un objeto a una distancia de 500 años luz 30 veces, la desviación estándar de la muestra resulta ser 1.46. ¿Debe el fabricante vender este telescopio?

Un gerente de producción siente que la tasa de producción de los empleados con experiencia es seguramente mayor que la de los nuevos empleados, pero no espera que la variabilidad en las tasas de producción difiera entre los dos grupos.

Un psicólogo está al tanto de los estudios que indican que la variabilidad en lapso de atención de los pacientes de cinco años de edad se puede resumir por = 64 minutos al cuadrado. Se pregunta si el lapso de atención de pacientes de seis años es diferente. Una muestra de 20 pacientes de seis años da = 28 minutos al cuadrado.

Un banco está considerando estrategias de reducción de costos asociados con las cuentas de ahorro. Ha encontrado que la varianza en el número de días entre transacciones para esas cuentas es 80 días al cuadrado. El banco desea reducir la varianza desalentando el uso de las cuentas para guardar dinero por poco tiempo.

Al verificar sus automóviles para saber si cumplen con las normas de emisión de contaminantes establecidas por el gobierno, un fabricante de automóviles midió la emisión de 30 vehículos.

Encontró que el número promedio de partículas de contaminantes emitidas estaba dentro de los niveles requeridos, pero la varianza de la muestra fue 50.

Un banco está considerando estrategias de reducción de costos asociados con las cuentas de ahorro. Ha encontrado que la varianza en el número de días entre transacciones para esas cuentas es 80 días al cuadrado. El banco desea reducir la varianza desalentando el uso de las cuentas para guardar dinero por poco tiempo.

l dueño de una compañía de aparatos de audio ofrece un año de garantía en todos los estéreos que vende su compañía. Para los 30 aparatos a los que se les dio servicio de garantía el año anterior, el costo promedio de compostura fue $75 y la desviación estándar de la muestra fue $15.

La Agencia de Control Ambiental fijó el máximo nivel de ruido a 83 decibeles de los camiones. La variación del nivel medio de la flota debe de ser pequeño. Los datos tomados al azar son: 85.4 86.8 86.1 85.3 84.8 88.0

Utilice estos datos para construir un nivel de confianza del 90% para la varianza de la población del ruido emitido por los camiones.

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Queremos comparar las varianzas de dos poblaciones. Más que buscar la diferencia de dos varianzas muestrales, es más conveniente estudiar su cociente. Si suponemos que las dos poblaciones están razonablemente bien descritas por distribuciones normales, entonces el cociente:

El procedimiento para la prueba de dos colas de dos varianzas es parecido al de la prueba de una cola. Valor de cola inferior de F para pruebas de dos colas:

Un inversionista ha reducido su búsqueda de un fondo mutualista a los fondos A y B.

La tasa de rendimiento del fondo A es más baja, pero parece más estable que la del fondo B.

Si la variabilidad en la tasa de rendimiento del fondo A es, en efecto, significativamente más baja que la del fondo B, entonces invertirá su dinero en la primera.

Un supervisor de control de calidad de una empresa fabricante de automóviles está preocupado por la uniformidad del número de defectos en los automóviles que salen de la línea de ensamble. Si una línea de ensamble tiene una variabilidad significativamente mayoren el número de defectos, entonces es necesario hacer cambios.

En un estudio de comparación entre las medias de dos grupos, se observó que la forma más común de la prueba t de dos grupos para la diferencia entre dos medias supone que las varianzas de población para los dos grupos son iguales.

Una empresa de biotecnología está preocupada por la variabilidad en el número de bacterias producidas por distintos cultivos. Si los cultivos tienen una variabilidad significativamente diferente, entonces se crea confusión en los experimentos y se producen resultados extraños (se entiende que la directiva de la compañía se ponga ansiosa cuando los científicos comienzan a producir cosas extrañas).

Una compañía constructora de computadoras está a punto de poner en el mercado una computadora personal nueva más rápida que sustituirá a su viejo modelo. Aunque, en promedio, la nueva computadora es más rápida que la antigua, la velocidad de procesamiento de la nueva computadora parece más variable. (La velocidad de procesamiento depende del programa que se esté corriendo, la cantidad de datos de entrada y la cantidad de datos de salida).

Dos tiendas de helado competidores, anuncian la venta de bolas de helado de 1/4 de libra. Existe cierta preocupación por la variabilidad del tamaño de las bolas, de modo que dos miembros de un grupo de consumidores locales muestrearon 25 raciones de helado de la primera compañía y 11 raciones de helado de la segunda.

¿Qué distribución de probabilidad se utiliza en cada uno de los siguientes tipos de pruebas estadísticas?

a) Comparación de dos proporciones de población.

b) Valor de una sola varianza de población.

c) Comparación de tres o más medias de población.

d) Comparación de dos medias de población a partir de muestras dependientes pequeñas.

Dos gerentes de marca estaban en desacuerdo respecto a si las amas de casas urbanas tienen mayor variabilidad en sus patrones de compra de abarrotes que las amas de casa rurales. Para probar sus ideas contrapuestas, tomaron muestras aleatorias de 70 amas de casa de áreas urbanas y 60 de áreas rurales.

Dos tiendas de helado competidores, anuncian la venta de bolas de helado de 1/4 de libra. Existe cierta preocupación por la variabilidad del tamaño de las bolas, de modo que dos miembros de un grupo de consumidores locales muestrearon 25 raciones de helado de la primera compañía y 11 raciones de helado de la segunda. ¿Existe alguna diferencia en la varianza del peso de las raciones de helado entre las compañías? Se han recolectado los datos siguientes. Pruebe al nivel 0.10.

¿Qué distribución de probabilidad se utiliza en cada uno de los siguientes tipos de pruebas estadísticas?

a) Comparación de dos proporciones de población.

b) Valor de una sola varianza de población.

c) Comparación de tres o más medias de población.

d) Comparación de dos medias de población a partir de muestras dependientes pequeñas.

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• Introducir las distribuciones ji-cuadrada (o chi-cuadrada) y la distribución F. Aprender a usarlas en la inferencia estadística.

• Utilizar la distribución ji-cuadrada para ver si las varianzas de los mismos datos son independientes entre sí.

• Utilizar una prueba ji-cuadrada para probar si una muestra particular de datos está bien descrita por una distribución determinada.

• Utilizar la distribución ji-cuadrada (o chi-cuadrada) para intervalos de confianza y prueba de hipótesis respecto a una sola varianza de población.

• Comparar más de dos medias de población empleando el análisis de varianza o ANOVA.

• Utilizar la distribución F en pruebas de hipótesis de dos varianzas de población.

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