Calculadora gráfica Hp50g

Nesta aula serão abordados temas simples de matemática básica, mostrando na calculadora HP50g, operações do tipo:

- +, -, *, /;

- raízes e potências;

- logaritmos e exponenciais;

Destaca-se de a função para raízes diferente de raiz quadrada, obtida qual função XROOT (acessível em shift direita + "raiz quadrada"). Sua estrutura é:

XROOT(índice ; valor)

Um cuidado que deve ser tomado em relação a esses tipos de cálculo está baseado no APPROX, pois cálculos como raízes, logarítimos e algumas funções trigonométricas não são executadas com o APPROX desligado. Entretanto o valor numérico das expressões pode ser obtido com a função: NUM (acessível em shift direita + ENTER).

Nesta aula serão discutidas apresentadas algumas funções específicas para trabalhar com álgebra na hp50g, muitas delas disponível no menu A-LG (encontrado em shift direita + 4);

As funções foram separadas conforme grupos específicos de atuação, sendo:

Para fatorar e trabalhar com equações:

-COLLECT(equação): Realize a fatoração de uma equação obtendo valores decimais (APPROX on) o valores inteiros se possível (APPROX off);

-FACTOR(equação): Possui o mesmo efeito da função COLLECT;

-EXPAND(equação): Realiza a simplificação ou a distributiva de uma equação;

Essas três funções podem ser obtidas no modo EQW com um simples apertar de botão, o procedimento para isso é demonstrado em aula.

Para fatorar e trabalhar com expressões de logaritmo e exponenciais:

-LNCOLLECT(equação): Realiza a união e simplificação de operações com logaritmo neperiano (LN);

-LIN(equação): Realiza união e simplificação de operações com exponencial neperiano (e);

-TEXPAND(equação): Separa equações e expressões contendo logaritmo exponencial neperiano;

Algumas dessas operações podem ser realizadas no modo EQW, entretanto outras necessito de utilizar a função diretamente.

Para fazer outras operações com expressões algébricas podem ser utilizados:

-PARTFRAC(equação): Realiza o procedimento de frações parciais, na qual um denominador contendo uma expressão fatorável (elementos sendo multiplicados) pode ser separada em frações somadas;

-SOLVE(equação ; variável): Tenta resolver uma equação para a variável informada.

>Neste caso a equação precisa apresentar um sinal de "=", "<" ou de ">".

>A solução apresentada poderá ser um valor numérico ou a variável isolada.

-SUBST(equação ; variável = valor): Substituir na equação informada o valor fornecido para a variável também fornecida. Na aula de operações com SOLVER será apresentado uma alternativa mais fácil a esta função.

Nesta aula serão apresentadas e discutidas diversas funções relacionadas a operações com trigonometria.

Dois detalhes são importantes a serem lembrados antes de começar a trabalhar com trigonometria:

-A opção APPROX pode influenciar o resultado obtido em várias dessas funções;

-O tipo de ângulo selecionado (graus, grados, radiano) precisa ser definido antes de trabalhar com essas operações;

As equações básicas a partir de um valor de ângulo são:

-SIN(valor): Obtém o seno de um valor;

-COS(valor): Obtém o cosseno de um valor;

-TAN(valor): Obtém a tangente de um valor;

As equações básicas para obter o ângulo a partir de um valor são:

-ASIN(valor): Obtém um ângulo a partir da função seno;

-ACOS(valor): Obtém um ângulo a partir da função cosseno;

-ATAN(valor): Obtém um ângulo a partir da função tangente;

Para trabalhar com identidades trigonométricas utilize as seguintes funções, lembrando que o funcionamento dessas funções precisa ser obtido por tentativa e erro, pois nem todas irão apresentar o resultado desejado:

-TCOLLECT(equação): Tenta unir ou simplificar uma expressão trigonométrica;

-TEXPAND(equação): Tenta expandir vou simplificar uma expressão trigonométrica;

-HALFTAN(equação): Tenta modificar uma expressão trigonométrica em relação ao ângulo de meia tangente;

-SINCOS(equação): Tentar reescrever uma equação com exponencial neperiano complexo em função de seno e cosseno;

-TRIGCOS(equação): Tenta reescrever a equação em função de cosseno;

-TRIGSIN(equação): Tenta reescrever a equação em função de seno;

-TRIGTAN(equação): Tenta reescrever equação em função de tangente;

Os números complexos são aqueles que possui uma raiz negativa na equação. Essa raiz negativa é representada pela letra "i", tanto na forma escrita quanto na calculadora. Na HP 50G os números complexos podem ser expressos tanto na forma de uma equação Contendo a letra i quanto na forma de uma coordenada.

Na forma de uma expressão, escreve-se:

x + y*i

Onde:

- x: Parte real da equação;

- y: Parte imaginária da equação;

Uma forma de uma coordenada, escreve-se:

(x; y)

Onde os valores de x e y são os mesmos que para forma escrita, sendo a parte real e imaginária respectivamente.

Dependendo da configuração da calculadora, que envolve várias características da mesma, um número complexo na forma de equação poderá ser convertida na forma de coordenada automaticamente. Em outros casos permanecerá na forma de equação.

Existem algumas regras da relação entre uma equação complexa e o seu formato de coordenadas que são explicadas em detalhes ao longo da aula. Especialmente em relação a conversão entre coordenadas retangulares e coordenadas polares.

Para obter os valores de argumento (ângulo) e absoluto (raio) de um número complexo, utilize as seguintes funções:

-ARG(coordenada): Obtém o ângulo de um número complexo;

>tomar cuidado com o tipo de ângulo utilizado;

-ABS(coordenada): Obtém o raio de um número complexo

Tanto valor do argumento quanto o valor do ângulo de um número complexo pode ser obtido facilmente, inserir uma coordenada na forma retangular enquanto a calculadora está programada para a forma polar. Entretanto desta forma não é possível extrair o valor do ângulo.

Outra operação que pode ocorrer com números complexos é obtenção do conjugado de um número complexo, que nada mais é do que o número original mas com a parte complexa de sinal invertido. Seu principal uso está no processo de divisão com números complexos, mas que HP faz por conta própria.

Para extrair a parte real ou imaginária de um número complexo, utilize as seguintes funções:

-RE(coordenada): Extrai a parte real;

-IM(coordenada): Extrai a parte imaginária;

Entretanto em ambos os casos, somente é extraído o valor da coordenada retangular. Para os valores na coordenada polar é necessário utilizar as funções ARG e ABS.

Por fim, pode subir a coordenada imaginária na sua forma normalizada, na qual o valor absoluto da coordenada Vale 1, para isso utilize a função:

-SIGN(coordenada)

Iniciando o terceiro módulo nesse curso de Hp50g, iremos aqui trabalhar várias operações que envolvem cálculo numérico, sendo este tipo muito importante para cursos de graduação.

Nesta primeira aula iremos trabalhar sobre polinômios, que nada mais são do que equações de uma variável desconhecida, possuindo diversos graus de potências.

Um exemplo simples de um polinômio seria algo do tipo:

x^3+2x^2-10x+25

Ao inserir um polinômio calculadora duas coisas devem ser levadas em conta:

- a variável independente deve ser a letra x;

- a variável x não deve possuir nenhum valor salvo na memória (verifique com o botão VAR);

Os conjuntos de operações e funções para trabalhar polinômios são:

- encontrar a raiz de um polinômio:

* garanta APPROX on, pois sem isso, raízes não exatas deixam de ser encontradas;

> função ZEROS(polinômio): Encontra as raízes de um polinômio

> função SOLVER(equação ; variável): Encontre a resposta de uma equação. Se a resposta for zero, encontre as raízes de um polinômio;

> função SOLVEVX (equação/ polinômio): Encontra a resposta ou raiz de uma equação contendo X;

- fatorar:

> função FACTOR(polinômio): É uma alternativa para encontrar as raízes de um polinômio;

* pode ser feito utilizando o EQW;

- divisão de polinômios:

> função DIV2(numerador ; denominador): Realiza a divisão de dois polinômios, obtendo o quociente e o resto na forma de uma lista numérica;

> função QUOT(numerador ; denominador): Obtém somente o quociente da divisão entre dois polinômios;

> função REMAINDER(numerador ; denominador): Obtém somente o resto da divisão entre dois polinômios;

Um somatório nada mais é do que uma soma propriamente dita de uma progressão linear de uma variável definida, partindo de um valor inicial até um valor final, em uma equação ou expressão definida.

Na hp50g, a forma mais fácil de inserir um somatório é através do modo EQW. Para inserir um somatório aperte shift direita + SIN.

No símbolo que aparece no modo EQW, já estão estabelecidas as posições de cada um dos valores. Será necessário informar:

- a variável a ser substituída;

- o valor inicial dessa variável;

- o valor final dessa variável;

- a expressão que será utilizada;

Alguns Cuidados específicos com somatórios são explicados ao longo da aula.

Um limite é um tipo de operação matemática, na qual verifica-se a qual o valor uma expressão tende quando uma variável específica se aproxima de um valor (tendência). Geralmente essa operação é resolvida substituindo a variável desejada pelo valor da tendência.

Esse tipo de operação é bastante utilizada para expressões Matemáticas nas quais essa substituição direta da variável pelo valor da tendência é bastante complicada ou leva a resultados inconclusivos. Ao longo da aula são apresentados diversos exemplos em que isso ocorre.

Para obter o limite de uma expressão, utilize a seguinte função:

-Função lim(expressão; variável = tendência)

Isso pode ser feito direto em modo algébrico ou através do modo EQW.

A definição de uma derivada, de um modo que possa ser facilmente compreendido é:

"a variação instantânea de uma coisa em função da mínima variação instantânea e outra coisa"

Ao longo da aula é explicado uma relação mais detalhadas sobre as derivadas além da função limite utilizada para o cálculo de derivadas.

Pode ser obtido dois tipos de derivadas:

- a partir de dados numéricos ou de uma curva genérica, sendo neste caso obtido na forma de um valor que representa a inclinação de uma reta naquele ponto específico;

> a metodologia para este modo será explicada em uma aula mais à frente;

- a partir de uma função (degrau diferente de 1), sendo neste caso outra função que permite prever o valor da inclinação da reta tangente em qualquer ponto da variável trabalhado.

Duas funções podem ser utilizadas para obter a derivada de uma função, sendo:

- função DERIV(função ; variável): Obtenha a derivada de uma função em relação a variável definida;

- função DERVX(função): Obtenha a derivada de uma função em relação a x;

Existe uma terceira forma de obter uma derivada o que é utilizando a notação específica para tal. Para inserir a notação aperta shift direita + COS. A sintaxe da notação é:

δvariável(função)

Essa metodologia também pode ser utilizada no modo EQW.

A integral possui o conceito inverso em relação a uma derivada, serve para obter uma área sob uma curva a partir de uma função ou de um conjunto de dados.

Para obtenção da área sobre a curva a partir de um conjunto de dados será necessário utilizar métodos numéricos de integração, os quais não estão disponíveis na calculadora.

Entretanto, área sob uma curva a partir de uma função obtém outra função que permite calcular essa área através da substituição dos limites de integração.

Existem algumas regras a serem lembradas para poder trabalhar com integrais, entre elas:

- dentro de uma integral, somente integrada a variável informada (dx, dy, dz, ...);

> caso alguma das variáveis na equação seja uma função da variável informada deve-se substituir a mesma pela sua equação respectiva;

- valores somados dentro de uma integral podem ser separados e integrais próprias;

- todo valor sendo somado ou subtraído dentro de uma integral também deverá ser integrado (regra da distributiva);

Na Hp50g são possíveis dois tipos de integrais:

- integrais indefinidas: Serve para verificar com uma função fica quando integrada;

> função INT(função ; variável integrada ; valor assumido)

>> se o valor assumido for uma letra, irá se obter a equação integrada;

>> caso seja um valor numérico (ex: Um dos limites de integração), obter-se-á um valor;

> função INTVX (função): Possui o mesmo papel da função INT, mas aceita somente x como variável;

* para integrais indefinidas é importante APPROX off

- integral definida: Serve como resolução para a maioria dos problemas de Engenharia;

> é obtida utilizando o comando shift direita + TAN;

> função "símbolo integral"(limite inferior; limite superior; função; variável)

> é mais fácil Inserir a integral no modo EQW.

Diferente de equações convencionais, as equações diferenciais possuem como incógnita principal uma função. Essa característica torna os modos de resolução bastante diferentes dos utilizados para equações convencionais.

A calculadora Hp50g consegue resolver alguns tipos de equações diferenciais de primeira ordem, não sendo possível resolver equações de ordem superior. Mesmo assim, somente será possível descobrir se a calculadora consegue resolver um problema específico por tentativa e erro.

Para inserir uma equação diferencial, utiliza-se a metodologia que é utilizada para derivadas, com diferencial de que a variável dependente (ex: y) seja uma função em relação a variável independente (ex: x):

-δx(y(x))

Após Inserir a equação diferencial, a calculadora adotará a notação específica para equações diferenciais:

-d1y(x)

Para tentar resolver uma equação diferencial de primeira ordem utilize a seguinte função:

-função DESOLVE(equação diferencial; variável dependente)

Ao longo da aula é demonstrada a utilização desta função.

A transformada de Laplace é uma técnica para resolução de equações diferenciais Ordinárias lineares (EDOL) utilizando o domínio dos números complexos para tal. Existem várias características da metodologia de trabalho com Laplace que são explicadas ao longo da aula.

A calculadora Hp50g é limitada a alguns tipos de operação de Laplace, entretanto para melhor visualizar as operações será necessário trocar a variável independente para letra T minúscula ao longo da aula é explicado como realizar isso.

Para obter a transformada de Laplace ou a transformada inversa de Laplace de uma função do tempo, utilize as seguintes funções:

-LAP(equação): Faz a transformada de Laplace de uma equação;

-ILAP(equação): Faz a transformada inversa de Laplace de uma equação;

As operações com ajuste de dados são grupos específicos operações estatísticas que visam analisar um conjunto de dados e obter uma relação ou função que possa prever o comportamento da amostra.

Para acessar o menu de ajuste de dados utilize shift direita + 5 + Enter + 3

Na calculadora hp50g, são possíveis os seguintes grupos de ajustes:

- ajuste de reta: Utilizado quando existe um comportamento linear entre duas variáveis, podendo ser ajustado com uma reta.

> a equação obtida possui o seguinte formato: a*x + b

> quanto mais próximo de 1 foram valor de correlação, melhor ajustada foi a curva.

- ajuste logarítmico: Utilizado quando ao colocar o eixo vertical em escala logarítmica obtém-se uma reta;

> a equação obtida possui o seguinte formato: a + b*LN(x)

> o eixo horizontal não pode possuir valores negativos;

- ajuste exponencial: Utilizado quando ao colocar o eixo horizontal em escala logarítmica obtém-se uma reta;

> a equação obtida possui o seguinte formato: a*e^(b*x)

> o eixo vertical não pode possuir valores negativos;

- ajuste de potência: Utilizado quando ao colocar ambos os eixos horizontal e vertical em escala logarítmica obtém-se uma reta;

> a equação obtida possui o seguinte formato: a*x^b

> ambos os eixos vertical e horizontal não podem possuir valores negativos;

Também é possível realizar previsões a partir do ajuste obtido dos ajustes e dos dados. Em qualquer um dos ajustes aperta a função PRED, na janela que aparecerá insira um valor para X ou Y, selecione o outro e aperte novamente PRED. A esse tipo de operação também se dá o nome de interpolação e pode ser utilizado para obter valores intermediários a partir de tabelas de dados.

A calculadora Hp50g não possui um aplicativo próprio para fazer ajustes polinomiais, entretanto para pequenas amostragens de dados, o partes de um conjunto de dados pode-se utilizar:

- função LAGRANGE(matriz horizontal)

> o resultado será um polinômio degrau n-1 (sendo n a quantidade de dados);

> para evitar polinômios muito grandes, limite a quantidade de dados entre 4 e 8 valores.

A calculadora gráfica Hp50g possui um menu dedicado a resolução de equações, seja através de funções ou através de aplicativos próprios.

É possível obter Soluções de:

- equações de diversos graus;

- equações diferenciais;

- raízes de polinômios;

- sistemas lineares;

- cálculos financeiros;

- motivos de equações não lineares;

Como podemos ver HP pode resolver problemas de diversos tipos, sendo só por isso uma grande calculadora. Entretanto hp50g possui mais um conjunto de vantagens, que envolvem:

- pode trabalhar com variáveis salvas; 

- pode encontrar soluções mesmo utilizando letras;

- pode encontrar soluções para variáveis não convencionais;

- fazer cálculos com unidades de medidas (será apresentado no módulo 7);

- pode modificar o valor de variáveis dentro dos aplicativos;

> permite fazer engenharia reversa...

A praticidade da hp50g está no fato de que não é necessário decorar linguagem de programação para resolução desses tipos de problemas, sendo bastante prático e intuitivo o seu uso. Ao longo das próximas aulas iremos ver em detalhes cada um dos métodos de resolução de problemas.

Antes de entrarmos nos aplicativos dissolver da calculadora, iremos abordar as funções pré-existentes para solver. Para acessar Essas funções aperte shift esquerda 7.

Na janela que se abriu existem 7 funções dedicadas as soluções de equações, entre elas:

- função DESOLVE(equação ; função): Dedicado a resolver alguns tipos de equações diferenciais de primeiro grau;

- função ISOL(equação ; variável): Para a variável escolhida, tenta isolar ela na equação fornecida caso ela seja isolavel;

- função LDEC(lado direito ; equação característica): Fornece a solução geral de uma equação ordinária linear de qualquer ordem, mas com coeficientes constantes. É um caso bem específico de solução e de inserção.

- função LINSOLVE([vetor equações];[vetor variáveis]): Fornece a solução de um sistema linear, indicando a solução para cada uma das variáveis. A resposta é obtida na forma de uma lista, sendo que o último termo da lista são as respostas.

- função SOLVEVX(equação): Encontre a sua de uma equação Contendo a variável X. Pode encontrar a solução para equações de diversas ordens, sendo uma das funções mais práticas da calculadora.

- função SOLVE(equação ; variável): Possui o mesmo papel da função SOLVEVX, mas com a praticidade de poder resolver qualquer letra, mesmo para resultados não numéricos.

- função ZEROS(equação): Tenta encontrar as raízes de uma equação, entretanto as funções SOLVE e SOLVEVX são mais eficientes nesse processo.

Uma vantagem de conhecer as funções de solver na calculadora está no fato de que para algumas equações de maior grau poderá haver mais de uma resposta correta. Pois alguns aplicativos encontro apenas uma única resposta para o problema, como veremos mais à frente.

O aplicativo de "Solver Equation" utiliza na sua programação a função SOLVER, podendo atribuir para cada variável de uma equação um valor específico, e resolvendo um valor faltante.

Uma característica comum em muitos problemas de Engenharia é que haverá uma fórmula, a qual possui alguns dos seus valores escritos nos enunciados, precisando descobrir um ou outro valor faltante.

Combinando essa característica dos problemas Engenharia com a funcionalidade do "Solver Equation" obtemos uma ferramenta extremamente versátil para cálculo em cursos de graduação.

Ao longo da aula é demonstrado como utilizar o solver tanto para equações simples quanto para equações complexas.

Entretanto, alguns detalhes do programa precisam ser destacados:

- somente obtém uma única resposta para a variável;

> equações de segundo grau ou superior podem ficar sem todas as suas respostas;

> neste caso vale a pena utilizar a função SOLVE manualmente;

- valores inseridos em uma variável, permanecem salvos na letra correspondente, podendo vir a ser utilizado em outras equações;

> será necessário substituir o valor caso o mesmo seja diferente em outra equação;

> tome bastante cuidado com unidades de medida diferente para a mesma letra;

- pode-se criar um banco de dados de equações e utilizá-las conforme necessidade;

- pode-se trabalhar com unidades de medida;

> mas a unidade da resposta precisa ser informada previamente;

> mesmo durante o cálculo, unidades diferentes mas compatíveis serão convertidas automaticamente, obtendo o resultado na unidade de destino;

- os cálculos podem ser feitos somente com valores numéricos;

> não é possível realizar operações com letras;

>> para isso utilize a função SOLVE;

Para Calculadora Hp50g possui um aplicativo para resolução de sistemas lineares, que se baseia em uma técnica que utiliza matrizes para obter a resposta. Ao longo da aula será apresentado o fundamento da técnica e como utilizá-la na calculadora.

Algumas coisas são importantes de serem lembradas:

- o número de equações deve ser maior ou igual ao número de variáveis;

- todas as variáveis devem ser de primeira ordem (com potência igual a 1);

- o programa só aceita valores numéricos;

Uma dica bastante importante é na hora de preparar a sua matriz de constantes, lembre-se de criar o mesmo número de equações em relação ao número de variáveis e preencher o valor de todas as constantes na ordem correta. O preenchimento incorreto de uma única variável poderá levar ao erro da resposta.

No programa, será necessário informar a Matriz das constantes (A) e a matriz das respostas (B), resolvendo ao final da Matriz das variáveis (X). Tome cuidado durante a sua organização das matrizes, para garantir que as variáveis estejam numa posição predeterminada, pois nesse programa não é possível verificar visualmente a qual variável pertence cada valor da Matriz das variáveis.

Entretanto, nem todo sistema linear possui uma resposta única ou sequer por sua resposta, de tal forma que uma maneira segura de verificar se a solução obtida está correta é:

- após obter a matriz das variáveis, tentar resolver a matriz das respostas;

> se a matriz das respostas não se alterar, o sistema é resolvido e determinado;

> se a matriz das respostas sofrer alteração, o sistema é resolvível mas indeterminado ou impossível.

O solver para polinômios é um aplicativo da calculadora que utiliza uma técnica específica para obter as raízes de um polinômio utilizando o valor dos seus coeficientes.

- os coeficientes são inseridos na forma de um vetor linha, contendo valores desde o coeficiente de maior grau até o de grau 0 (sem valor de x).

Ao longo da aula é demonstrado como utilizar o aplicativo.

* tome cuidado inserir o valor do coeficiente de todas as unidades de X possível, mesmo que não esteja presente na equação original (neste caso ele vale 0).

O aplicativo dedicado para resolução de equações diferenciais obtém como respostas valores numéricos para um conjunto específico de condições de entrada.

Será possível resolver apenas sistemas similares ao descrito no cabeçalho da calculadora, sendo neste ponto bastante limitado.

Para os sistemas válidos, será necessário informar o lado direito da equação, os valores iniciais das variáveis dependentes e independentes e um valor final, podendo ser para variável dependente ou para a variável independente.

Com este solver é possível construir uma tabela de valores, para um conjunto de valores iniciais e finais, entretanto as capacidades do aplicativo terminam aí.

A calculadora Hp50g possui na sua programação um aplicativo dedicado a resolução de cálculos financeiros. Sua capacidade é menor em comparação a outras calculadoras financeiras, porém, ainda assim é possível obter cálculos como:

- pagamento de empréstimos;

- simulação de financiamento (tabela Price);

- amortização de empréstimo;

Entre outras combinações não exploradas neste curso...

O aplicativo de solver financeiro pode ser acessado através de shift esquerda + 9.

No aplicativo é possível calcular ou informar as seguintes variáveis:

-N = número de pagamentos ou período do empréstimo (múltiplos de meses, bimestres ou outra combinação);

-PV = valor emprestado/financiado;

-PMT = valor do pagamento a cada período;

-FV = valor futuro ou saldo devedor após todos os pagamentos (para a quitação de um empréstimo/financiamento esse valor deverá ser 0);

-I%YR = taxa de juros anual;

-P/YR = pagamentos por ano (12 = pgto. mensal, 6 = bimestral, 4 = trimestral, 2 = semestral);

-END/BEG = indica se eu pagar é feito no começo ou no final do mês (antes ou depois do juros incidirem sobre o saldo devedor);

Após inserir os valores neste menu e calcular o valor da parcela, pode-se apertar a função AMOR para entrar no menu de amortização. Neste menu pode-se verificar, após uma determinada quantidade de pagamentos (payments):

-Principal: A quantidade Total já paga;

-Interest: O quanto foi pago em juros;

-Balance: O tamanho do saldo devedor;

Ao longo da aula, mostra-se um exemplo da utilização do solver para calcular uma simulação de financiamento imobiliário, comparando o resultado obtido em um simulador da Caixa Econômica Federal.

Mostra-se também o efeito dá TR sobre o saldo devedor de um financiamento imobiliário, espalhe essa informação!

A calculadora Hp50g possui um conjunto de funções dedicado a resolução de múltiplas equações, na qual podem ser informadas diversas equações e um conjunto de variáveis. Ao executar a função a calculadora tentará buscar a relação entre as variáveis e as equações me modo a obter todas as demais variáveis não informadas. Entretanto, para o funcionamento adequado deste tipo de função é necessário conhecer programação na calculadora.

Nesta aula será demonstrado apenas como utilizar a função MSLV, que nas condições corretas, consegui encontrar numericamente a resposta de um sistema. A metodologia aplicada pela função MSLV consiste em variar o valor inicial das variáveis até que todas as equações fornecidas sejam satisfeitas, ou ao menos se aproxima desta condição.

Ao longo da aula é mostrado como utilizar esta função adequadamente, porém, a mesma possui algumas características de uso, entre elas:

- Não é possível trabalhar com condicionais, apenas equações;

- Preciso de três argumentos, sendo:

> vetor de equações;

> vetor de variáveis;

> vetor de valores iniciais (pode ser valor 0 para cada variável, mas quanto mais próximo da resposta, melhor);

- Pode trabalhar com quantas equações forem necessárias, desde que o número de equações = número de variáveis;

- Não trabalha corretamente com valores obtidos com a APPROX off (raízes, logaritmos, exponencial, valores trigonometricos);

Ao longo da aula é mostrado como utilizar a função MSLV, sua sintaxe e seus resultados.

Ao longo dessa primeira aula sobre matrizes e vetores serão abordados algumas regras básicas de operações matemáticas com esse tipo de elemento, de tal maneira que nas próximas aulas possamos dar Foco na utilização desses elementos na hp50g.

Aqui serão abordadas regras como:

- construção e o uso;

- sintaxe na calculadora;

> vetor: [a1, a2, a3, ... an]

> matriz: [[a11, a12, ... a1n][a21, a22, ... a2n]...[am1, am2, ... amn]];

-Regras matemáticas para soma, subtração, multiplicação e divisão;

- obtenção de valores característicos (ex: Determinante).

Nas próximas aulas serão abordadas em Foco o processo de criação desses vetores e matrizes, além de operações matemáticas tanto conversores quanto com matrizes.

Ao longo das aulas será mostrado como criar vetores e matrizes na calculadora HP 50G. Existe um menu dedicado a criação e edição de vetores e matrizes, entretanto, o modo mais fácil para criação e edição de um desses elementos é através do editor de matrizes MTRW acessível em shift esquerda + '.

No editor de matrizes:

- para inserir um vetor:

> digite uma única linha de valores;

> garanta a função VEC (F2) ativada;

> ao apertar enter no final irá aparecer algo como: [a1, a2, ... an]

- para de inserir uma matriz:

> digite uma ou mais linhas de valores;

> caso somente uma linha, garanta a função VEC (F2) desativada;

> ao apertar enter no final irá aparecer algo como: [[linha 1][linha 2]...[linha m]]

Dentro dos vetores e matrizes poderão ser inserido informações como:

- valores;

- expressões algébricas (equações);

- algumas funções;

- variáveis;

No próprio editor é possível fazer várias alterações na matriz, podendo adicionar ou remover linhas e ou colunas. Para alguns tipos de cálculos é possível utilizar funções para isso, contudo, editor não é necessário saber a sintaxe dessas funções.

Após criar um vetor em uma matriz, procure sempre salvar este conjunto de dados em uma variável, de tal modo que ao utilizar uma função ou um aplicativo da calculadora, não se corro risco de perder a matriz digitada. Ao utilizar funções é possível colocar a variável na posição na matriz.

Vetores são um conjunto de valores, similar a uma lista mas com propriedades específicas. Um dos usos mais comuns para vetores é o de coordenadas, representando posições ou movimento em um espaço geométrico.

Nessa aula iremos ver operações e regras relacionadas à:

- alteração de sinal;

- soma e subtração:

> regra principal: Precisam ser do mesmo tamanho;

- multiplicação e divisão de um vetor por um valor escalar;

> todos os valores dentro do vetor são multiplicadas ou Divididos pelo valor escalar;

- multiplicação entre vetores:

> para multiplicação escalar utilize a função DOT(V1 ; V2);

> para produto vetorial utilize a função CROSS(V1 ; V2);

- valor absoluto/módulo do vetor:

> utilize a função ABS(vetor);

- conversão de coordenadas:

> será mostrado Como converter entre as coordenadas retangulares, polares e esféricas;

> inclusive as equações utilizadas para isso;

- como extrair um valor específico de um vetor;

- como obter o ângulo entre vetores:

> será necessário utilizar uma equação própria.

Mais informações serão descritas ao longo da aula.

Matrizes são conjunto de valores expressos na forma de coordenadas matriciais, contendo uma ou mais linhas de valores. Sua utilização está em diversos Ramos da matemática e da resolução de problemas.

Nas aula iremos ver operações como:

- alteração de sinal;

- soma e subtração de matrizes;

> ambas as matrizes precisam ser do mesmo tamanho;

- multiplicação e divisão de uma matriz por um valor escalar;

> todos os valores dentro da Matriz São multiplicados igualmente pelo valor;

- multiplicação entre matrizes;

> precisa seguir as regras de multiplicação de matrizes;

> o tamanho da Matriz final também Depende das regras;

- obtenção do determinante:

> para isso utilize a função DET(matriz);

> somente é possível para matrizes quadradas;

- obtenção da matriz inversa e adjunta:

> para obtenção da matriz inversa use INV(matriz);

> para obtenção da Matriz adjunta use INV(matriz)*DET(matriz);

- obtenção da Matriz transposta:

> para isso utilize a função TRAN(matriz);

Procure sempre realizar essas operações a partir de uma variável contendo a matriz, de tal maneira a não perder a matriz original caso tenha feito algum comando errado.

Essa última aula sobre matrizes e vetores, aborda um conjunto de funções presentes no menu de matrizes que são muito específicas para alguns tipos de operações.

Nessas aulas não serão fornecidos exemplos do funcionamento de cada uma dessas funções, sendo essa limitada a explicar de maneira geral qual é a função básica de cada uma dessas funções e onde encontrá-las.

Uma característica da calculadora Hp50g está relacionada à sua capacidade de fazer gráficos, sendo essa uma das razões pela qual ela é uma calculadora gráfica.

Na comparação entre diferentes softwares destinados a criação de gráficos, a calculadora está muito longe de ser um aplicativo ideal, pois é limitada na sua resolução pela capacidade de trabalhar a imagem. Entretanto, como uma ferramenta para obter um gráfico rapidamente em qualquer lugar ou visualizar o padrão de uma função ela é uma excelente ferramenta para se ter em mãos.

Para alterar o tipo do gráfico, acesse shift esquerda + F4.

Na configuração básica da calculadora hp50g podem ser construídos os seguintes tipos de gráficos:

1. Função:

> constrói um gráfico alterando uma variável independente (eixo horizontal) e observando o resultado de uma função (eixo vertical);

> é o mais utilizado na maioria das aplicações.

2. Polar:

> utilizado para plotar funções em coordenadas polares;

3. Gráfico paramétrico:

> utilizado quanto tanto os valores do eixo vertical quanto do eixo horizontal variam em relação a uma terceira variável independente;

> normalmente, o eixo vertical é colocado como uma variável complexa, de tal modo que a função relacionada ao eixo vertical deve ser multiplicado pelo valor "i"

4. Equações diferenciais:

> utilizado obviamente para equações diferenciais de primeira ordem;

> é necessário colocar o lado direito da equação informar algumas outras informações sobre a equação, tais como seus valores iniciais

5. Gráficos cônicos:

> utilizada para plotar equações de círculo, elipses, parábolas e hipérboles;

> é necessário informar Quem são as variáveis dependentes e Independentes da equação;

6. Gráficos verdadeiros:

> utiliza a mesma base de X do gráfico cônico, mas sombreia uma determinada condição de um gráfico;

> é necessário informar uma condicional no lugar da equação, nas regiões em que a condicional for verdadeira o gráfico ficará sombreado;

7. Histograma:

> a partir de um conjunto de dados na forma de uma coluna, produz um histograma;

> A hp50g não é a melhor ferramenta para a produção deste tipo de gráfico;

8. Barras:

> a partir de um conjunto de dados na forma de uma coluna, produz um gráfico de barras;

> um pouco mais fácil de trabalhar do que o de histograma;

9. Dispersão:

> produza um conjunto de pontos para as coordenadas X e Y fornecidas na forma de colunas;

> entretanto, não conecta os pontos da dispersão, impedindo a produção de uma análise;

10. Campo de inclinação:

> é um gráfico especial que mostra um conjunto de soluções para uma equação diferencial de primeira ordem;

> são apresentados os segmentos tangenciais das curvas da solução para diferentes condições de entrada;

11. Gráficos 3D rápidos:

> utilizado para produzir rapidamente uma superfície 3D a partir de uma equação contendo as variáveis dependentes e independentes;

> é produzida apenas um pequeno segmento de superfície;

12. Plotagens aramadas:

> similar ao gráfico 3D rápido, qual a diferença de que o ponto de vista é fixo;

13. Contornos de superfície:

> Projeta um gráfico 3D em uma superfície;

14. Plotagem de divisão Y:

> produza um gráfico animado de uma sessão de uma superfície;

> são produzidas diversas curvas da relação entre o terceiro eixo é a variável dependente;

> cada curva é produzida variando a variável independente;

> a animação produzida mostra cada uma das curvas obtidas em sequência;

15. Mapas de grade:

> tipo de gráfico 3D em que um dos eixos é um número complexo;

16. Superfícies paramétricas:

> produza uma superfície em que cada um dos eixos possui uma equação própria.

Cada um desses tipos de gráficos possui características próprias que podem ser editadas em outros menus.

Para poder plotar um gráfico na calculadora é necessário inserir uma equação, uma função ou um conjunto de dados. Para inserir essas informações acesse shift esquerda + F1.

Dentro do menu para inserção de função ou dados, aperte ADD (F2) para acessar o EQW ou o MTRW respectivamente. No caso de funções, é possível inserir mais de uma função para ser plotado ao mesmo tempo basta apertar mais uma vez o botão ADD (F2).

Sempre que possível, considere salvar suas equações e funções na forma de variáveis. Podendo inseri-las neste menu de funções através do botão CHOOS (F4).

Lembre-se de limpar a tela do gráfico toda vez que for postar alguma coisa, pois HP não realiza essa operação por conta própria. Para isso, aperte ERASE (F5).

Por fim, aperte DRAW (F6) para plotar o seu gráfico, não existe nenhum segredo aqui.

Em muitos casos será necessário alterar a janela para adequar o formato da sua curva a aquilo que você deseja visualizar. Para isso acesse o menu de configuração de janela através de shift esquerda + F2. Neste menu você poderá alterar os valores dos eixos horizontais e verticais, o outro as condições conforme o tipo de gráfico selecionado. Muitas vezes nessa janela, pode-se apertar o botão AUTO (F4) para que a calculadora procure os limites adequados dos eixos para encaixar o seu gráfico... As vezes funciona muito bem.

Uma função interessante da calculadora Hp50g reprodução de tabelas de valores a partir das funções e equações plotados. A principal utilidade dessa tabela está em obter valores numéricos que podem ser colocados em outros softwares para a geração de gráficos em ambiente externo a calculadora.

Nem todos os tipos de gráficos produzem uma tabela, mas para os que produzem é possível visualizar o efeito ação da variável independente sobre as variáveis dependentes.

Para configurar a tabela acesse shift esquerda + F5, nesta tela poderá ser informado:

- o valor inicial da variável independente;

- o passo entre cada linha da tabela (da variável independente);

- o fator de aumento de zoom, ou seja, quantas vezes o passo será aumentado ou reduzido para cada aplicação de zoom;

Para acessar a tabela aperto shift esquerda + F6. Na tabela é possível Navegar utilizando as setas e é possível escolher um valor qualquer para a variável independente. Para isso selecione a coluna da variável independente e Digite o valor desejado. Infelizmente isso não funciona para as colunas das variáveis dependentes.

É possível aplicar vários tipos de zoom na tabela, para mais informações veja ao longo da aula.

Uma vez o gráfico estando plotado é possível fazer algumas pequenas edições no mesmo, com o objetivo de destacar informações ou simplesmente por diversão.

A primeira alteração discutido ao longo da aula está em relação ao Zoom. Em uma janela de um gráfico plotado aperte F1 para acessar as funções de zoom, são possíveis:

- editar o fator multiplicador de zoom (função ZFACT, abre uma janela própria);

- selecionar uma região do gráfico para realizar Zoom (função ZBOX);

- aumentar ou reduzir o zoom nos dois eixos simultaneamente (função ZIN e ZOUT);

- retornar a proporção dos eixos para 1:1 (função ZSQR);

- resetar o som da calculadora (função ZDFLT);

- aumentar ou reduzir o zoom em um eixo específico (funções HZIN, HZOUT, VZIN e VZOUT);

- centralizar o eixo na tela (função ZCNTR);

- deixar a calculadora decidir uso adequado 80 50 alô r$ 108

Entre os possíveis modos de edição estão:

- inserir informações no gráfico;

- inserir figuras geométricas (pontos, retas, retângulo e círculos);

- colocar nome dos eixos;

- colocar outros tipos de marcações;

Ao longo da aula serão demonstrados como realizar cada uma dessas operações.

Uma coisa importante de ser lembrada é que qualquer edição feita no gráfico permanecerá nele enquanto a imagem estiver na tela. Um gráfico gerado se comporta como uma figura e as edições são realizadas sobre essa figura. Qualquer mudança de zoom ou se a figura foi apagada, todas as edições serão apagadas junto.

Para alguns tipos específicos de gráficos é possível extrair alguns tipos informações, nas aulas será mostrado como obter isso a partir da calculadora Hp50g.

Com o gráfico na tela aperte a função FCN (F4) para exibir as funções de análise gráfica.

Estão disponíveis as seguintes opções:

- função ROOT: Encontra a raiz da função mais próxima do marcador;

> exibir o valor na tela;

- função ISECT: Possui o mesmo objetivo da função ROOT, mas exibir o resultado na forma de uma coordenada.

- função SLOPE: Mostra o valor da inclinação da reta tangente para um ponto escolhido no gráfico;

> pode-se usar a função TRACE para fixar o marcador na curva

- função AREA: Calcule a área sob a curva entre uma posição de âncora e a posição do marcador;

> exibir o valor da área na tela;

- função SHADE: Similar a função AREA, contudo apenas sombreia a região calculada;

- função EXTR: Encontra Picos e vales mais próximos do marcador;

> exibir a coordenada na tela;

- função F(X): Mostra o valor da função para coordenada da variável independente do marcador;

- função F': Calcular a derivada da função e pronta ela sobre a curva;

> a equação da derivada é adicionada automaticamente ao menu de inserção de funções;

- função TANL: Calcula a equação de uma reta tangente em relação ao marcador sobre a cor;

> exibir a equação da reta na tela;

- funções NXEQ e VIEW: Exibir a equação utilizada na tela.

Algumas dessas funções calculadas da curva permaneceram na tela principal após a saída do aplicativo de gráfico.

Em engenharia, uma das maiores fontes de erros na resolução de problemas está nas unidades de medida utilizadas. Tanto em situações em que o aluno esquece de fazer a conversão, quanto em casos quando há necessidade de converter um tipo de unidade em outra.

Felizmente, na HP é possível realizar cálculos utilizando unidades, de tal forma que esses erros de unidades de medidas podem ser praticamente eliminados.

Para inserir uma unidade de medida em qualquer valor utilize os símbolos de underline ( _ ) após o número desejado. As unidades de medida inserida devem respeitar o conjunto de unidades existentes na calculadora, para encontrar o menu de tipos de unidades acesse shift direita + 6.

Podem ser utilizadas unidades de:

- comprimento

- área

- volume

- tempo

- velocidade

- massa

- força

- energia

- potência

- pressão

- temperatura

- corrente elétrica

- ângulo

- luz

- radiação

- viscosidade

Deve ser cuidado em respeitar as letras maiúsculas e minúsculas na unidade. Pode ainda ser feitas diversas combinações de unidades aplicar multiplicadores conhecidos (ex: Quilo, mega, micro, nano, etc).

Podem ser realizados qualquer tipo de cálculo com os valores com unidades, desde que algumas regras sejam respeitadas, tais como:

- unidades somadas ou subtraídas devem ser do mesmo tipo;

> nesse caso a unidade final será a do último valor utilizado;

> utilize isso a seu favor para conversão de unidades;

- e multiplicação e divisão as unidades podem ser combinadas;

> entretanto, para realizar esse procedimento de maneira correta os valores devem estar entre parênteses, tal como é explicado ao longo da aula;

> quando unidades do mesmo tipo forem multiplicadas, essas poderão ser automaticamente convertidas para humanidade base;

>> para isso utilize a função UBASE(valor_unidade);

- para conversão de unidade em outra utilize a função CONVERT(valor_unidade inicial ; 1_unidade destino);

> um release uma soma com o valor 0 mas na unidade de destino;

Para extrair somente o valor de um número com unidade utilize a função UVAL (valor_unidade);

Também é possível utilizar o solve equation, discutido em aula anterior para cálculos com unidades. Ao final desta aula é mostrado um exemplo desse processo

Uma característica comum em muitos problemas é uso de constantes universais para a resolução de equações. Entretanto, a não ser que você esteja trabalhando constantemente com essas constantes, dificilmente irá lembrar o seu valor ou as unidade.

Felizmente, a hp50g possui em sua memória um banco de constantes, contendo pelo menos 40 constantes diferentes. Para acessá-la aperte APPS + 3 + Enter.

Dentro do menu de constantes, você poderá Navegar para cima e para baixo procurando a constante desejada, as mais utilizadas se encontram por primeiro, enquanto as menos utilizadas estão por último. Um detalhe importante é que as constantes disponibilizadas não estão organizadas em ordem alfabética, será necessário procurar por conta própria.

Para exibir o valor da constante ative a função VALUE. Observe que o valor é exibido junto à sua unidade padrão, normalmente com unidades SI, para alterar para o padrão inglês de unidades ative a função ENGL. Para remover a unidade do valor desative a função UNIT.

Para utilizar o valor desejado aperte ->STK que o valor será copiado para tela principal. Tome cuidado aqui em garantir que o valor esteja na unidade desejada (SI ou inglesa) e se o mesmo irá com a unidade junto. Palavra para sair do aplicativo aperte QUIT.

Com o valor copiado para tela principal é possível realizar qualquer operação matemática com o mesmo, podendo inclusive salvar em uma variável própria para ser utilizado ao longo do cálculo.

Na aula anterior foi visualizado como trabalhar com unidades, caso deseje alterar a unidade da constante verifique a função CONVERT ou o macete exibido na aula anterior.

Uma característica bastante interessante sobre a calculadora, especialmente a partir da versão na hp50g (as versões anteriores não possuíam essa função naturalmente), é biblioteca de equações que vem embutida na memória da calculadora. Nessa biblioteca existe um conjunto bastante grande de equações disponibilizadas e prontas para uso nas mais diversas áreas do conhecimento.

Para encontrar essa biblioteca acesse APPS e procure por EQN Library.. e depois por EQNLIB. Caso para ti aparece uma função na tela aperte ENTER.

Existem equações relacionadas a:

- mecânica de colunas e barras;

- eletricidade;

- fluídos;

- força e energia;

- gases;

- transferência de calor;

- magnetismo;

- movimento;

- Ótica;

- oscilações;

- geometria plana;

- geometria dos sólidos;

- dispositivos de estado sólido;

- análise de esforços;

- ondas;

Dentro de cada um dos humanos desses tópicos, existem diversos outros subtópicos Onde estão armazenadas as equações de cada um. Para verificar a disponibilidade de uma equação será necessário explorar por conta própria. É possível também adicionar equações neste menu porém isso não será explicado neste módulo.

Dentro de cada subtópico existe o nome do conjunto de equações que pode ser explorado manualmente existe também um conjunto de funções na tela, entre elas:

- função SOLV: Inicia o aplicativo para resolução daquele conjunto de equações;

- função EQN: Exibe a tela as equações armazenadas na variável;

- função VARS: Exibe na tela o nome de cada uma das variáveis e a sua unidade padrão;

- função PIC: Exibe na tela uma ilustração do conjunto de equações Caso esteja disponível;

- função ->STK: Copia algumas informações para tela.

Para poder utilizar o aplicativo em um conjunto de equações selecionado (após apertar SOLV) será necessário modificar o modo da calculadora para RPN, pois neste módulo o processo é mais prático.

Ao selecionar um conjunto de equações, você retornará a tela principal e nos botões e função irão aparecer as letras das variáveis da equação porém em uma caixa em "branco". Isso significa que naquela variável ainda não foi salvo qualquer valor.

Para adicionar qualquer valor, insira-o na tela normalmente e aperta a tecla de função correspondente a variável que deseja. Lembre-se que valor será salvo na unidade padrão daquela variável. Para verificar a unidade antes de inserir o valor, aperte shift direita + tecla de função desejada. É possível também inserir valores em outra unidade compatível (do mesmo tipo), basta inserir junto ao valor unidade e ao longo do cálculo a calculadora irá fazer as conversões de necessárias.

Para obter a resposta de uma outra variável faltante aperta shift esquerda + tecla de função desejada. Será exibida a resposta Já comunidade pré-programada, e as variáveis utilizadas para o cálculo apresentaram um marcador dizendo que foram utilizadas. Para salvar o resultado na variável basta apertar novamente a tecla de função da variável.

Alguns subtópicos também possui mais de uma equação na sua memória de tal modo que geralmente na tela principal existem mais variáveis do que as necessárias para resolver uma única equação. Para resolver outras equações será necessário informar os valores faltantes.

Para reiniciar todas as variáveis navegue com botão NXT até encontrar a função ALL que irá reiniciar os botões de função.

Existe um outro conjunto de funções salvas na calculadora, cuja localização é apresentada ao longo da aula mas que são muito específicas para serem trabalhadas aqui. Entretanto ao longo da aula é apresentada a sua função e o que ela representa.

Outro aplicativo bastante interessante pré-instalado na calculadora hp50g eu aplicativo de tabela periódica, o qual possui no seu banco de dados diversas informações sobre os átomos presentes na tabela periódica. Podendo vir a ser uma ferramenta para cálculos envolvendo química.

Para encontrar o aplicativo, acesse APPS, procure o item PERIODIC TABLE e na sequência insira a função PERTBL.

Dentro do aplicativo é possível navegar na tabela periódica para encontrar o elemento desejado, você nem formado na tela o nome e o símbolo do mesmo, sua massa atômica, seu número atômico, sua densidade e seu estado Nas condições padrões de temperatura e pressão.

Caso não encontre o elemento desejado na tabela, é possível procurar o mesmo numa lista baseado no seu nome (função NAME) ou no seu símbolo (função SYMB).

É possível copiar para a tela principal o peso atômico (função ATWT) ou a densidade (função DENS) do elemento desejado, podendo vir a utilizá-lo ao longo dos cálculos.

Pode ser encontrada mais informações sobre o elemento apertando ENTER em qualquer momento em que o elemento esteja selecionado. Será apresentado uma lista de propriedades e seus respectivos valores. Para copiar a informação para a tela principal aperte ->STK. É possível incluir ou retirar do valor copiado a sua unidade.

Existe ainda a opção de plotar uma propriedade específica em relação aos átomos disponíveis, para isso selecione a propriedade e aperte a função PLOT.

Por fim, existe no mesmo menu da função que inicia a tabela periódica, uma função para calcular o peso molar de átomos e moléculas. Para isso acesse a função MOLWT(molécula) e digita entre parênteses a combinação de átomos e moléculas da mesma, tal como é demonstrado ao longo da aula.

Nessa última aula do curso de Hp50g será demonstrado como utilizar a função DEFINE para construção de funções cujo resultado depende de algumas variáveis. Essa função é acessada através de shift esquerda + 2.

A estrutura da função DEFINE é:

DEFINE(função(var1, var2, ... varn) = equação)

Utilizando Esta função, será criado um programa que para a solução irá depender da inserção das variáveis corretas nas posições corretas. Ao longo da aula irá ser demonstrado como construir com a função DEFINE e como utilizá-la na calculadora.