Analisi Matematica: Limiti, la Guida Definitiva!

Per forme indeterminate come ∞-∞ o ∞/∞, vediamo la più semplice ed efficace tecnica per risolvere i limiti, chiamata "andamento asintotico". La tecnica vi farà risparmiare molto tempo e molte energie, e vi tornerà utile quando userete i limiti per gli studi di funzione, per cui prestate particolare attenzione!

Quando non compaiono solo polinomi, l'andamento asintotico può essere più difficile da digerire. Grazie alla scala degli infiniti però, gli esercizi ritornano facili come prima.

Il limite del seno e del coseno all'infinito è molto particolare: praticamente non c'è. Non significa tuttavia che non esistano i limiti di tutti quegli esercizi che presentano un seno o un coseno! In questa lezione vediamo proprio come padroneggiare con grande facilità questa sottile situazione.

Il metodo delle equivalenze asintotiche, avrete notato, è molto efficace. Ma siccome da grandi poteri derivano grandi responsabilità, dobbiamo stare attenti a non usare questo metodo indiscriminatamente, altrimenti potremmo cancellare termini che in realtà non sono affatto trascurabili. Per cui, in questa e nella prossima lezione vediamo con esempi pratici come comportarci in tutti questi casi anomali.

La Razionalizzazione è un ottimo modo per risolvere la forma indeterminata ∞-∞, forma che potremmo risolvere in modo sbagliato se ci affidassimo solo all'andamento asintotico.

Introduciamo nuovamente le equivalenze asintotiche, ma adattiamole al caso in cui la x si avvicina allo zero. Inoltre introduciamo il concetto di intorno, una nozione che può sembrare irrilevante ma che invece cambia totalmente il risultato di un esercizio se non prestiamo attenzione.

Questa lezione è la prova di come ogni caso complicato prima o poi si ricondurrà al caso semplice: vediamo infatti i limiti notevoli, che trasformano una qualsiasi funzione in una molto più facile da studiare.

Il limite notevole esponenziale è un caso particolare, perché genera una forma indeterminata molto particolare, ovvero 1^∞.

Vediamo con esercizi svolti come padroneggiare perfettamente anche questa tecnica.

Ancora una volta, dal caso complicato ci riconduciamo al caso semplice tramite la tecnica della sostituzione.

Inoltre, rispolveriamo alcune proprietà goniometriche e degli angoli associati per svolgere le sostituzioni con molta più facilità.

E quando i limiti notevoli non bastano, arriva la tecnica dei polinomi di Taylor.

Parliamo di un metodo spettacolare: un modo molto intelligente per andare ancora di più "nel piccolo".

Questa lezione dura più delle altre ma, se siete degli studenti universitari alle prese con questa tecnica, sono certo che sapete che 19 minuti per imparare a saperla applicare è veramente poco! Eppure dopo questa lezione e la scheda di esercizi avrete le idee sicuramente molto più chiare.

Il teorema di de l'Hopital rappresenta l'unica vera alternativa alle equivalenze asintotiche, e con questa possiamo risolvere tutte le forme indeterminate 0/0 e ∞/∞. Tuttavia per poterla usare dovete sapere calcolare le derivate: se sapete già padroneggiare questo argomento benissimo, altrimenti aspettate di affrontarlo nel vostro percorso di studi.

Oppure attendete il mio corso sulle derivate ;)

Quando studiamo le Condizioni di Esistenza (C.E.) di una funzione, spesso ci imbattiamo in punti che devono essere esclusi dal Dominio: nei dintorni di quel punto, la funzione assume dei comportamenti anomali e si definisce "discontinua".

Grazie ai limiti possiamo studiare tutte queste irregolarità e classificarle: vediamo infatti la discontinuità di salto, l'asintoto verticale e la discontinuità eliminabile (con esercizi parametrici).

Non solo possiamo studiare la funzione nei dintorni di un punto anomalo, ma grazie ai limiti siamo in grado di disegnare una funzione in tutto il suo Dominio, e possiamo quindi tracciare un grafico della curva associata alla funzione che stiamo studiando.

I passaggi da seguire sono molto semplici e sempre gli stessi: in questa lezione vedrete quali.

Oltre al promesso schema per sapere come orientarci con tutte le tipologie di limiti (da usare ogni qual volta non venisse specificato il metodo da utilizzare per risolverli), creiamo aspettativa per i prossimi corsi di Analisi 1 e 2. Stay Tuned!