張旭大一微積分【上學期課程】

【摘要】從函數圖形的走勢看函數的極限，引出利用左極限和右極限判斷極限是否存在的直觀定義
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【摘要】透過解釋有理數和無理數在實數上的分布狀況，探討了 Dirichlet function 的極限存不存在這個問題
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【摘要】透過畫出 f(x) = sin(2x+π) 的圖形，來判斷該函數當 x→0 時的極限是否存在；另外本範例複習了函數圖形平移與伸縮的觀念
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【摘要】極限的嚴格定義是大學微積分初學者第一個會遇到的難題，如何想清楚其定義的意義並使用，是這一主題的主要課題
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【摘要】練習用極限的嚴格定義證明二次函數的極限，本範例主要訓練調整 δ 的能力
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【摘要】練習用極限的嚴格定義證明有理函數的極限，本範例主要訓練調整 δ 的能力
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【摘要】練習用極限的嚴格定義證明無理函數 (根式函數) 的極限，這個範例主要訓練調整 δ 的能力
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【摘要】透過極限的嚴格定義證明出來的極限是否唯一呢？如果不唯一的話那就與直觀不合了，本補充教材證明給你看嚴格定義與直觀是相符的
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【摘要】了解了極限的嚴格定義以後，運用其定義證明一些最簡單最基本函數 (本集講常數函數、單項式函數、絕對值函數、根式函數) 的極限，之後靠這些基本函數的極限以及重點四會講的極限的運算來處理各種函數極限的計算問題
【附註】本影片適合數學系學生觀看；其他科系學生記得結果就好
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• 23:35 處的等於應改成 ≤

【摘要】了解了極限的嚴格定義以後，運用其定義證明一些最簡單最基本函數 (本集講指數函數和對數函數) 的極限，之後靠這些基本函數的極限以及重點四會講的極限的運算來處理各種函數極限的計算問題
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• 9:12 log 的底數需補上 a

【摘要】了解了極限的嚴格定義以後，運用其定義證明一些最簡單最基本函數 (本集僅講三角函數 sin(x)) 的極限，之後靠這些基本函數的極限以及重點四會講的極限的運算來處理各種函數極限的計算問題
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【摘要】本範例舉出了幾個比較困難的用夾擠定理求極限的例子，若對夾擠定理已經夠熟練的話，可以開始練習思考函數本身該用那些輔助函數來做夾擠
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【摘要】本重點主要建立極限的運算定理，這一個重點和前後兩個重點都學習完成以後，就可以開始練習各種的極限計算題型了
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【摘要】本範例主要演示結合一些基本函數的極限以及極限的四則運算，就可以證明多項式函數在某點的極限值恰巧等於在某點的函數值
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【摘要】本範例主要演示結合一些基本函數的極限以及極限的四則運算，就可以證明 x 的次方為有理數時在某點的極限值恰巧等於在某點的函數值
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【摘要】本範例主要演示結合一些基本函數的極限以及極限的四則運算，就可以更多三角函數在某點的極限值恰巧等於在某點的函數值

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【摘要】本範例舉出了幾個比較困難的用夾擠定理求極限的例子，若對夾擠定理已經夠熟練的話，可以開始練習思考函數本身該用那些輔助函數來做夾擠
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【摘要】合成是函數很常用的運算，這個主題主要證明合成函數的極限如何運作，其條件是必須注意的重點，另外本影片配合前兩個重點可計算更多極限計算題型
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【摘要】去零因子法是求極限計算題型裡最重要的題型之一，此類型的題目再次強調了極限值和函數值的差異，有時函數值在某點時因分母代入該點時會無法計算，但極限值卻有機會移除這些情況
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【摘要】去零因子法是求極限計算題型裡最重要的題型之一，此類型的題目再次強調了極限值和函數值的差異，有時函數值在某點時因分母代入該點時會無法計算，但極限值卻有機會移除這些情況
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【摘要】由於在去零因子法的觀念講解中，我們再次提到了「極限不存在」，但一直以來都只有說明何謂極限存在，所以在此特別說明極限不存在的定義，並用其定義證明了幾個函數其極限值不存在
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【摘要】本影片主要講解求極限遇到絕對值時該如何處理，通常會以觀察其左極限和右極限來判斷極限值是否存在
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【摘要】本範例給了一個原本沒有絕對值但經整理以後出現絕對值的例子，主要是是因為一個實數的平方再開根號等於本身加絕對值這個特性
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【摘要】本影片主要介紹高斯符號，這是台灣高中數學不一定會提到的內容，所以比較著重在函數圖形的建立以及斷點的左右極限情形分析
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【摘要】本範例主要解一個高斯符號求極限的經典例題。雖然函數的內外各有一個高斯符號使得函數整體看起來複雜，但其實仔細討論以後並不是那麼困難，本題著重在高斯符號在整數附近的分析
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【摘要】本範例進一步研究高斯符號內部函數如果乘上一個係數的話會有什麼影響，結果是必須討論進位問題，這就是本範例的重點
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• 9:50 應為 [x] 而不是 [x_0]

• 14:39 a = 0.5 的情況應併入 case1

【摘要】本影片主要介紹「無窮」的觀念，包含 x→±∞ 和 f(x)→±∞ 的嚴格定義
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【摘要】本範例主要練習用嚴格定義證明 1/x^2 當 x→0 時的極限，以及 1/x 當 x→∞ 時的極限
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【摘要】本範例主要練習用嚴格定義證明多項式分式的極限，這些極限都包含無窮的觀念，這幾個例題都是為了下一個主題做準備，下一個主題將給予一個記憶方法幫助學生快速計算此類型的極限
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【摘要】面對多項式分式 (rarional functions，或稱有理函數) 取極限時，特別是 x→∞ 的情況，除了可以用上一個重點來分析以外，也可以使用這一個重點提供的速算技巧：老大比較法
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【摘要】此範例演示了老大比較法的進階題型，也就是當多項式分式的分子或分母的次方即使為有理數 (分數)，甚至是分子或分母有開 n 次方根時均可使用老大比較法
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• 0:56 (1) 的分子應該是 3X^(5/2)

【摘要】此範例演示了老大比較法的進階題型，即便一開始的型式不為多項式分式，但通過整理以後仍然變成多項式分式的型式，那就可以使用老大比較法
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【摘要】本重點主要修改自多項式分式的求極限題型，將多項式的部分改成指數函數，但觀念仍然是採用老大比較法，也就是只取分母和分子的領導項出來比較，然後決定極限值
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【摘要】本範例將原本在觀念講解中的指數函數分式的求極限問題其中的 x→∞ 改成 x→－∞，這樣的變動會改變領導項的判斷，同學們作答時務必謹慎小心
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• 第一題和第二題的答案應均為－∞

【摘要】本範例再次修改原本在指數分式求極限的題型中各指數函數的底數部分，將大於 1 的底數換成小於 1 的底數，在判斷領導項的過程會變複雜許多，但老大比較法的觀念依然不變
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【摘要】本重點比較特別一點，是我少數沒有認真證明的一個重點，只有講一個故事協助學生記憶 x^x、x!、a^x、x^n 和 log_b(x) 之間的大小關係 (當 x→∞ 時)
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【摘要】這個範例蠻重要的，取極限遇到底數和指數都是變數時，可先取 exp 再取 log 使原式產生變化，再利用極限遇到連續函數可直接無視的特性，將題目再化成老大比較法的題型，最後再用我們的口訣「叉叉接旨刺 log」即可解開這類題型
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【摘要】本影片主要說明函數極限的一個重要定理：夾擠定理。這個定理說明如果 f(x) 本身如果在 x = a 的極限不好取得時，可以間接地靠一個較大的函數和較小的函數來輔助取得其極限值
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• 15:45，極限底下是 x→0

【摘要】本範例演示了幾個用夾擠定理求極限的簡單例子，雖然簡單，但還是可以練習到一點點如何把事情說清楚的技巧
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【摘要】本範例舉出了幾個比較困難的用夾擠定理求極限的例子，若對夾擠定理已經夠熟練的話，可以開始練習思考函數本身該用那些輔助函數來做夾擠
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【摘要】本影片針對類似 sin(x) / x 當 x→0 時的極限問題去做討論，主要練習將式子整理成型如 sin(x) / x 的項來處理
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【摘要】這個範例將舉出幾個型如 sin(x) / x 但更複雜的極限問題，但在處理上還是運用補項湊出 sin(x) / x 的型式來取得極限
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【摘要】本影片主要說明何謂函數連續。要了解連續，必須先知道哪些情況是不連續，排除掉這些狀況以後就是連續，所以連續的定義其實是在避免不連續的情形發生
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【摘要】本範例舉了幾個進階的用來練習判斷函數在那些地方連續的例子，最重要的是當我們無法透過計算證明極限值等於函數值時，就要回歸極限的嚴格定義
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【摘要】在了解連續函數的定義以後，接下來我們說明連續函數在四則運算與合成運算之下仍舊保持連續的特性，並透過許多例題強化連續函數的觀念
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【摘要】這個範例是連續函數觀念的活用，之前的題目大多都是判斷一個確定的函數在某點是否連續，這題則是一個待定函數在要求為連續的情況下要利用連續的概念去決定之
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【摘要】本影片介紹一個在求極限上常用的技巧，就是當合成函數的外層函數為連續函數時，那麼取極限這個動作就可以直接針對內層函數取就可以了，相當實用
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【摘要】本影片主要說明連續函數在 [a,b] 區間上，若 f(a) 和 f(b) 不相等時，則對於 f(a) 和 f(b) 之間任意數 K 都可以在 a 和 b 之間找到一個 c 使得 f(c) = K，這就是中間值定理
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• 5:45 應為 f(d)

• 11:45 應該為 [0,5]

【摘要】本範例利用中間值定理來證明勘根定理，不過這裡的勘根定理和台灣高中數學裡提到的勘根定理不太一樣，台灣高中數學裡面提到的勘根定理僅限於多項式函數，但其實勘根定理可以應用在任意連續函數上
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【摘要】這是我很喜歡的一個定理，定點定理。雖然只是簡單版本，但居然可以觀察到這樣的現象，並且運用中間值定理就能證出來了，這就是數學奧妙的地方，常常會讓我有文章本天成，巧手偶得之的感覺
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【摘要】本影片講解連續函數的一個重要定理：極值定理。這個定理除了需要連續函數以外，也需要這個連續函數定義在一個閉區間上，滿足這些要求以後，在這個閉區間上就可以找到兩個點，使得這兩個點代入函數以後剛好達到其最大值和最小值
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【摘要】本影片講解微分的概念，並說明導數、導函數和微分之間的差異，然後用微分的定義計算了幾個基本函數的導函數
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【摘要】本範例主要運用微分的定義計算指數函數和對數函數的導函數，這是稍具技巧性的一個主題，如果看不下去的話，可以直接記住結論就好
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【摘要】本範例主要運用微分的定義計算三角函數的導函數，相對於指對數函數的微分來說，三角函數的微分較為簡單一些
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【摘要】本範例講解一個微分和連續之間的關係：一個函數若可微分則必為連續函數，但反之不必然，一個連續函數並不保證可以微分
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【摘要】本範例主要練習靈活運用微分的定義式，即便一開始不是微分定義式的樣子，經過湊項還是可以變成微分定義式的樣子
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【摘要】本範例一樣練習靈活運用微分的定義式，只是又進階的一點
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【摘要】本影片主要說明一個重要的式子的由來：lim_{x→∞} (1+1/n)^{n} = e。我從複利的角度出發，希望藉由相對實際的例子讓更多同學了解上面那個式子的由來與推導過程
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【摘要】本影片主要說明函數在係數積、加法、乘法和除法下的微分公式，證明相對於極限篇的時候簡單了許多，純粹用微分定義式去計算就可以了
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【摘要】本範例主要訓練各種基本函數在四則運算下的微分，是微分的基本功
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• 3:21 (2) 的第三行應為 4X+3

【摘要】本影片主要證明合成函數的微分公式，如果是數學系的學生應該要看，但如果是其他系的學生則可以跳過，記得結論就好
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【摘要】本影片主要證明合成函數的微分公式，如果是數學系的學生應該要看，但如果是其他系的學生則可以跳過，記得結論就好
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【摘要】本題主要證明分數次方的單項式的微分和次方為整數的單項式微分公式一樣。證明的手法一樣是透過移動次方的方式，將問題簡化成過去所學的知識能夠處理的狀態；不過本題有偷偷用到隱函數微分法，但同學還是可以先試著使用
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【摘要】本範例主要透過幾個例子來訓練微分合成律公式，對於公式的熟練相當重要，而微分合成律的公式又是段考必考題，所以各位同學千萬不能錯過
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• 8:40 x 不能約掉，最後答案兩項相乘的右邊那一項的分母應為 x^3

【摘要】本影片主要介紹了一下如何微分反三角函數，另外也介紹了反三角函數的定義域、值域以及函數圖形。反三角函數在台灣高中數學課程裡面已經被刪掉了，所以本影片特別補充說明。
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• 30:27 arcsec(x) 和 arccsc(x) 的值域應該分別為 0≤y、y≤π 和 -π/2≤y、y≤π/2

【摘要】本影片主要介紹了一下如何微分反三角函數，另外也介紹了反三角函數的定義域、值域以及函數圖形。反三角函數在台灣高中數學課程裡面已經被刪掉了，所以本影片特別補充說明。
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• 30:27 arcsec(x) 和 arccsc(x) 的值域應該分別為 0≤y、y≤π 和 -π/2≤y、y≤π/2

【摘要】本影片主要介紹萊布尼茲微分符號 d/dx，這個符號的優勢在於可以明確指示對哪個變數微分，而且 dy/dx 更有切線斜率的感覺；然後介紹高階微分與隱函數微分法，讓微分這個動作更能自由自在地處理問題
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【摘要】本影片主要練習使用萊布尼茲微分符號配合隱函數微分法來計算一些無法表達成 y = f(x) 的函數的微分
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【摘要】這題是隱函數微分法的一個應用。之前熟練了萊布尼茲微分符號和隱函數微分法以後，這個題目是將工具發揮在實際例子上的一個表現
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• 5:55 最後的等號右邊是 +7 不是 -1

  
  

【摘要】本範例主要練習基本函數的微分與合成函數的微分
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【摘要】本範例主要練習基本函數的微分與合成函數的微分，這題的合成函數的表示法和上一題不太相同，但核心技巧仍是一樣的，值得練習
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• 03:07 應為 12X^3

• 05:15 多乘了-1

• 07:32 ds/dt 應有 3 倍

• 10:44 27*12 應為 324

【摘要】本題主要訓練隱函數微分法，以及底數和指數位置都有變數時的微分技巧
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【摘要】這題主要回歸微分的定義，當公式或工具無法發揮作用時，可以試著回歸定義，或許就能解出答案
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【摘要】這題也是回歸微分定義的一題，雖然單純，但又複習了一下求極限的經典題型
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【摘要】本影片回歸學習微分的原點，為何需要微分；在數學上，我們因為需要求函數圖形在某點的切線，需要切線斜率，所以發展微分定義與工具，而在學習完這些基本工具以後，我們回歸最初的起點，利用這些工具來解決各式各樣的切線問題
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【摘要】本習題是一個相當基本的求切線問題
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• 3:34 x = -3 時，帶回求 y 值應為 7

【摘要】本習題開始增加變化，原本是已知函數求切線，現在變成函數有一些待定係數，要透過已知切線去反推這些係數
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【摘要】這個習題的難度稍高，首先要先發現所給定之點並不在函數圖形上，然後再想辦法列出等式求得所有通過此給定點的切線
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【摘要】本題又再提升一次難度，相對於前一個精選範例，這個範例先給定切線斜率，要我們反求函數圖形外一點 P 可使通過此點 P 的切線斜率就是題目所給的切線斜率，不太好做，但值得練習看看
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【摘要】本題又再提升一次難度，相對於前一個精選範例，這個範例先給定切線斜率，要我們反求函數圖形外一點 P 可使通過此點 P 的切線斜率就是題目所給的切線斜率，不太好做，但值得練習看看
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【摘要】本習題也不會太難，只要先求切線，然後再將此切線與原函數解聯立即可
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【摘要】本主題從洛爾的均值定理開始說明，然後再利用洛爾的均值定理證明一般形式的均值定理，最後再以一個基本的例題作結
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• 28:07， 應為 (-2,2)

【摘要】本範例運用均值定理證明一個滿足均值定理條件的函數，若滿足 1 ≦ f'(x) ≦ 3，則 4 ≦ f(6) － f(2) ≦ 12
【附註】本影片適合理、工學院學生觀看；商、管學院可作補充
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【摘要】本範例運用均值定理證明 | sin(x) － sin(y) | ≦ | x － y | 以及 | sin(x) | ≦ | x |，雖然是證明，但相當基礎而且經典，是大學微積分考卷上的常客
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• 2:52 等於後面 cos'(c) 沒有撇

【摘要】本範例非常的經典，當初洛爾 (就是洛爾均值定理的洛爾) 猜測多項式連續兩個微分等於 0 的點之間最多只有一個根，也就是本題內容，為了解決這個問題，所以才證明了最關鍵的洛爾均值定理
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【摘要】本範例看起來有點像定點定理，但其實並非定點定理，因為結論並無法保證一定有一個 c 可使得 f(c) = c，只能保證最多一個，也就是說可能會沒有 c 使得 f(c) = c；本題雖然敘述複雜，但證明其實不難，一樣運用均值定理即可輕鬆解出
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【摘要】本範例主要證明一個非常重要的定理：柯西均值定理。柯西均值定理架構於均值定理之上，可用來證明日後的羅必達法則，其證明經過長時間的淬鍊以後，已經變得非常簡潔，最困難的一步在於想到第一步的 F(x)
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【摘要】本範例主要證明一個非常重要的定理：柯西均值定理。柯西均值定理架構於均值定理之上，可用來證明日後的羅必達法則，其證明經過長時間的淬鍊以後，已經變得非常簡潔，最困難的一步在於想到第一步的 F(x)
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【摘要】本範例是羅必達法則的一個練習。前三小題是基本題，第四題比較技巧一點，如果直接算的話會比較辛苦一點；透過本題我們學習到一個技巧，那就是當題目本身不好算時，或許可以先分開處理，而分開時有時需要補項，就像第二、三小題一樣
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【摘要】本範例練習使用羅必達法則，順便複習一下微分的定義
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【摘要】從函數圖形的走勢看函數的極限，引出利用左極限和右極限判斷極限是否存在的直觀定義
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• 20:13 遞減區間應為 [x3,x4]

【摘要】本重點運用微分分析圖形走勢的技巧，來判斷極值的位置；本重點主要包含兩個求極值法，分別是一次微分檢驗法和二次微分檢驗法
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• 30:20 global max 應不存在

【摘要】本題應用微分求極值法求拋物線上一點到座標平面上一固定點的最短距離
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• 2:05 4/3t^2 應為 3/2t^2

【摘要】本題運用微分求極值的技巧，計算一個長方形紙張去掉四個正方形角落以後，所能摺出的容器其容積最大值
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• 3:50，應為 f''(1)=-28

【摘要】這個例題相當重要，對釐清觀念相當有幫助；本題提出五個常見的觀念錯誤，例如函數在某點微分為 0 則該函數在該點必有極值嗎？這個問題顯然是錯的，至於有怎樣的反例，請看影片說明
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【摘要】本重點講解如何分析一個函數其圖形的漸近線，包含水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸近線；這個重點主要為下一個重點「微分作圖法」做準備，雖然在微分應用篇裡面，但這個重點的核心觀念實際上不需要用到微分的技術，只需要會求極線即可
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• 4:33，應為 -∞

【摘要】本範例練習求一函數其圖形之鉛直漸近線
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【摘要】本範例練習求一函數其圖形之水平漸近線
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【摘要】本範例練習求一函數其圖形之斜漸近線
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【摘要】本重點講解如何透過微分工具分析函數圖形的約略趨勢，如局部極值、臨界點、反曲點、凹口性、漸近線等，並利用這些資訊作出函數圖形大概的樣子
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【摘要】本影片演示如何透過微分工具分析一個函數圖形的約略走勢並作簡易畫圖
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【摘要】本影片講解如何透過微分的觀念來做估計，從切線的角度進入，帶出微分量的觀念，然後應用在數值的估計上
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• 9:52 後面的 x 沒代到 -4

【摘要】本範例練習把一個函數線性化，為日後的估計做準備
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【摘要】本範例練習如何透過線性化函數做數值估計
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【摘要】本範例透過一個需要估計的實際例子，來練習微分量的觀念與公式
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【摘要】本範例透過另一個需要估計的實際例子，來練習微分量的觀念與公式
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• 0:41 圓增加 0.02 才對

【摘要】本影片講解如何透過牛頓法估計一個函數的根，除了推導公式以外，另外也提到幾個牛頓法容易失敗的函數型態，最後以一個實際例子的演算作結
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• 12:53 分母應為 -21

【摘要】本影片講解如何透過牛頓法估計 tanx = 0 在 3 附近的根，同時也透過這個牛頓法求根的過程逼近 π
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• 0:54，座標軸標示錯誤，應為3π/2

【摘要】本影片講解如何透過牛頓法估計根號 3
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【摘要】本影片講解定積分這個符號的直觀定義，定積分的發明來自於求函數曲線下的有向面積，為了熟悉定積分這個符號的幾何意義，我們先從曲線下面積的判別開始
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• 19:24 例題 3 的答案 pi 多了平方

【摘要】本影片講解奇偶函數的特性在做定積分時會發生的特殊現象，這個特殊現象可以讓我們即便連該函數的不定積分是哪個函數的情況下把答案算出來
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【摘要】本影片講解更多更複雜一點的函數的定積分，藉由分析該函數是奇函數還是偶函數來簡化我們的計算或判斷等式是否成立
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【摘要】本影片介紹了定積分的正式定義，這裡採用任意分割上來計算上和下和的方式來判斷一個函數在 [a,b] 區間上可否積分並計算其定積分值；各位同學要注意定積分的等價定義有好幾種，如果考試怕失分的話，建議一定要使用教授指定的定義來證明會比較好一點
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【摘要】本影片利用了定積分的正式定義計算了 x 在 [a,b] 上的定積分值，這並不太容易，我和丈哥花了一點時間才把這個看起來如此基本的函數的定積分透過我使用的定義證明出來
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• 14:19 分子應為 b^2 - a^2

• 19:50 不等號右邊分子應為 b-a
  註： 這樣的修正後不影響第 2 步取 ||P||→ 0 之後的運算結果

【摘要】本影片利用了定積分的定義證明 Dirichlet 函數在 [a,b] 上不可積
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【摘要】本影片介紹了定積分的運算性質，包含四則運算和一些等式與不等式
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【摘要】本影片運用積分上下限運算的一些等式來解決例題
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• 題目第一行從 2 積到 3 那項要加 dx

【摘要】本影片運用積分的不等式來解決例題，透過相較所積分函數的大小，來取得如題目中的積分值上界估計
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【摘要】本影片運用積分的定義、積分運算性質以及之前學過的極值定理和中間值定理，證明了積分均值定理
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【摘要】本影片運用積分的定義、積分運算性質以及之前學過的極值定理和中間值定理，證明了積分均值定理
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【摘要】本影片透過一些基本的例題練習了第一型的微積分基本定理，雖然簡單但困難的技術總是扎根在最基本的練習上，因此初學者還是應該好好練習這樣的題目，透過這樣的題目把定理本身想透徹
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• 4:04 應為 x^(p+1) / (p+1) 才對

【摘要】本影片繼續練習第一型的微積分基本定理，不過針對的函數從最簡單的次方函數改成了三角函數，難度沒有提升很多，依然在訓練基本功
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【摘要】本影片繼續練習第一型的微積分基本定理，不過針對的函數從三角函數再進階到了反三角函數，要解決這樣的題型，首先得把反三角函數的微分記熟
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• 1:35 π/2 - π/6 應該是 = π/3

【摘要】本影片繼續練習第一型的微積分基本定理，不過針對的函數換成了其反導函數具有 ln[f(x)] 形式的函數，要察覺這樣的函數，必須先熟練 ln[f(x)]' = f'(x)/f(x) 這個形式
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• 4:21 sin(π/2) 應為 1

• 4:43 ln 裡面的分子部分應為 2 + 根號(2)

• 4:53 因此最後的答案應為 ln2 - ln((2 + 根號(2))/2)

【摘要】本影片介紹了不定積分的定義，以及不定積分和反導函數之間的關係；針對某個函數的不定積分是該函數所有反導函數的統稱，所以不定積分才會寫成某一個特定的反導函數再加一個常數
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【摘要】本影片透過一些例題練習求一些特定函數的不定積分，其實也只是在找反導函數，不過要記得加常數，接下來的幾個例題，真正的目的都是在訓練自己求不定積分要記得加一個常數
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【摘要】本影片透過一些例題練習求一些特定函數的不定積分，其實也只是在找反導函數，不過要記得加常數，這一系列的例題，真正的目的都是在訓練自己求不定積分要記得加一個常數
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【摘要】本影片透過一些例題練習求一些特定函數的不定積分，其實也只是在找反導函數，不過要記得加常數，這一系列的例題，真正的目的都是在訓練自己求不定積分要記得加一個常數；本題理工學院的學生一定要看！
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【摘要】本影片透過一些例題練習求一些特定函數的不定積分，其實也只是在找反導函數，不過要記得加常數，這一系列的例題，真正的目的都是在訓練自己求不定積分要記得加一個常數
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【摘要】本影片介紹了雙曲函數，雙曲函數是三角函數利用尤拉公式表達法去掉 i 以後所形成的函數，因此其本質擁有 exp(x) 的特性；本影片除了介紹其定義以外，也計算了其微分公式
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【摘要】本影片求出了雙曲函數的反函數及其微分
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【摘要】本影片起連續四個主題都是非常重要的積分技巧，首先介紹最基本的變數變換法；有時透過適當的「打包」就能讓原本解不出來的積分問題變成可以積分，所以這個方法幫助我們拓展了能夠積分的函數數量，而且這絕對是微積分考試裡面必考的技巧，不能不會
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【摘要】本影片透過一些基本的例題練習變數變換的技巧，相當重要，每一題都必須好好練習
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【摘要】本影片透過一些基本的例題練習變數變換的技巧，相當重要，每一題都必須好好練習
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【摘要】本影片透過一些基本的例題練習變數變換的技巧，相當重要，每一題都必須好好練習
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【摘要】本影片透過一些基本的例題練習變數變換的技巧，相當重要，每一題都必須好好練習；本題相較於前幾題而言，增加了上下限的變換練習，這個練習也是絕對不能錯過的
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【摘要】本影片介紹四大積分技巧之一：三角置換法；三角置換法是變數變換法的一個類型，但他的特別之處在於不是把一堆東西打包，反而是把 X 令成一個三角函數的樣子，只要用正確的方式假設，就會讓原本算不出來的題目變成算得出來，但當然能夠對付的題型也有限，只有面對相對應的題型才能用這種置換法來處理
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【摘要】本影片練習一些基本的三角置換法例題
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【摘要】本影片練習一些進階一點的三角置換法例題
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• 5:06 arcsin(u) 應為 arcsin((x+2)/3)，後續答案也要跟著修改

• 13:47，應為二分之根號 7，非根號 2 分之七

【摘要】本影片練習一些進階一點的三角置換法例題，這題再進一步增加了變換上下限的練習
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• 本題積分範圍應為 arctan(-pi/4) 至 arctan(pi/4)

【摘要】本影片透過計算圓的面積來實戰練習三角置換法。要特別注意的地方是，這個不是計算圓形面積的證明，因為這個計算本身的源頭已經運用了圓面積公式，所以這個計算只能用來當作驗算圓面積公式的一個方法
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【摘要】本影片介紹四大積分技巧之一：分部積分法；分部積分法主要是用來處理函數相乘的積分問題，但有些特別的函數也能透過看成 1 和本身相乘來強迫使用分部積分以得到答案
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【摘要】本影片運用分部積分法計算 xlnx 的積分和 lnx 的積分，lnx 雖然只有自己一個函數，但透過看成 1 和 lnx 的相乘，一樣可以經由分部積分得到答案
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【摘要】本影片運用分部積分法計算 (e^x)sinx 的積分和 (e^x)coshx 的積分；本題在計算後者時，有提出一個值得注意的錯誤想法，有興趣的同學可以一看
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【摘要】本影片運用分部積分法計算 arcsinx 的積分和 arctanx 的積分；雖然都只有單一個函數，但跟前面的精選例題一樣，透過將之看成 1 乘上本身的方式，一樣可以用分部積分算出答案
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【摘要】本影片運用分部積分法計算 secx 的積分、sec^2(x) 的積分和 sec^3(x) 的積分；其中最需要注意的是 sec^3(x) 的積分，用到和 (e^x)sinx 時類似的技巧，是經典的題目
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【摘要】本影片運用分部積分法計算 secx 高次的積分公式，若學校有教高次倍角三角函數積分 (看積分後篇重點一) 的話，這個積分可以看一下
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【摘要】本影片運用分部積分法計算 cosx 高次的積分公式，這個題目跟上一個例題類似，主要是透過類題的練習習慣高次三角函數的積分問題
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【摘要】本影片運用分部積分法計算 |x| 的積分，關於 |x| 的微分和積分都是我很喜歡的課題，有興趣的同學可以看一下
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【摘要】本影片介紹了連續分部積分的技巧，這個技巧是很多補習班都會教的技巧，特別針對要連續做很多次分部積分的題目有明顯加速的效果，講究考試速度的同學一定要學
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【摘要】本影片介紹了四大積分基本方法之四：部分分式法；這個方法主要對付所有多項式相除的函數，也就是有理函數；這個方法的步驟比較繁雜一點，容易計算錯誤，同學除了了解作法以外，應該也要多刷題目練習
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【摘要】本影片練習一個部分分式的基本例題
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【摘要】本影片練習一個部分分式的基本例題，相較於上一個例題，本題複習了一個重要函數的積分，1/(1+x^2) 的不定積分，其不定積分為 arctan(x)，這個絕對不能忘記
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【摘要】本影片練習一個部分分式的基本例題，相較於上一個例題，本題指出了一個重要的重點，那就是二次拆項的真正關鍵在於先配方才能正確拆項，這題和上題要多加比較
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【摘要】本影片練習一個部分分式的基本例題，但計算上又更複雜了一些
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【摘要】本影片練習一個部分分式的基本例題，相較之前所有的例題，這題再追加了一個觀念，那就是當分子領導次數高於分母的領導次數時該如何處理
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• 2:02 加號後面的分子應為 x+2

【摘要】本影片介紹更進階的積分技巧：高次倍角三角函數積分；舉凡遇到 sin 高次和 cos 高次相乘的積分、sec 高次和 tan 高次相乘的積分或 sin 倍角和 cos 倍角相乘的積分，都可以使用這個影片用到的技巧處理
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【摘要】本影片演示 sin 高次和 cos 高次相乘積分的計算技巧
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• 4:23 (1/3)sin(x) 應為 (1/3)sin^3(x)

• 9:14 將 cos^2(2x) 降次的部份應把 [1- cos(4x)]/2 改為 [1+cos(4x)]/2

【摘要】本影片演示 sin 倍角和 cos 倍角相乘積分的計算技巧
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• 4:30 ∫ sinx cos3x cos5x dx 應等於 ∫ (sin4x+sin(-2x))/2 *cos5x dx

【摘要】本影片演示 sec 高次和 tan 高次相乘積分的計算技巧
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• 1:54 tan^2(x) 應為 tan^5(x)

• 4:24 此為加號，非減號

【摘要】本影片說明若積分內部函數有絕對值該如何處理
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【摘要】本影片說明若積分內部函數有正負無窮或積分範圍有正負無窮該如何處理
【附註】本影片適合理工學院學生觀看，商管學院學生參考就好
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【摘要】本影片練習一個積分界限有無窮的積分問題，另外這個題目用到的湊項的技巧也值得一看
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【摘要】本影片練習一個積分界限有無窮的積分問題，另外也複習了一下連續分部積分的技巧
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【摘要】本影片練習一個函數在積分範圍內會產生無窮大的積分問題
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【摘要】本影片介紹微積分中重要的定理之一，微積分基本定理 II。這個定理主要說明若一個函數先積分再微分會跟原本函數相同這件事
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【摘要】本影片練習了微積分基本定理 II 的一個例題
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【摘要】本影片練習了微積分基本定理 II 的一個例題，這題較上一題複雜得多
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【摘要】本影片介紹了一個曲線下面積繞著 x 軸或 y 軸旋轉所掃出的體積如何計算，基本上有兩種方法，一個是圓盤法，另外一個是剝殼法
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【摘要】本影片練習用圓盤法計算球體體積
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• 8:10 ，應為 π/4

【摘要】本影片練習用圓盤法計算金字塔體積
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【摘要】本影片練習用剝殼法計算一個由兩個函數曲線與其上下限所決定面積，沿著 y 軸旋轉一圈以後，所掃出的物體體積
【附註】本影片適合理、工、商、管學院學生觀看
【勘誤】若有發現任何錯誤，歡迎留言告知

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