微積分-基礎數學篇 Calculus-Basic Math

稠密性
有理數具有稠密性，任兩個有理數數之間都可以再找到一個有理數，似乎有理數幾乎占滿了整個數線。
要介紹完備性先要介紹何謂柯西數列(Cauchy Sequence)

柯西數列
數列 a1,a2,a3,a4,...... 隨著項數增加，相鄰數字距離愈來愈近的數列，也就是會持續趨近某個數字(極限存在)

完備性
實數中任一柯西數列的極限仍然落在實數(具有封閉性)，有理數就不具有完備性，
如1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421,……這是有理數的柯西數列，但沒有有理數極限，
事實上其極限為根號2 ，同學可以思考，有理數的稠密性似乎充滿數線，但卻也充滿空隙，

微積分許多的理論建立在實數的完備性(沒有空隙)的實數性質中，極限的存在也是非常重要的觀念。

若 A,B 表實數之區間， A=[−2,3)，B=(0,5) ，

則 A∩B=(0,3) ， A∪B=[−2,5)

許多複雜的函數都是由函數合成所形成， g(f(x)) 觀念是經過 f 對應後， 在使用 g 對應，也就是函數的函數。

絕對值函數 f(x)=|x| ，無論 x 原來為正或負，加上絕對值一律都是正。

直線方程式可以說在雙變數函數中最基礎，但也是最重要的，

以微觀的角度來看，許多非線性問題常以線性的方法解決。

直線方程式的依照已知的條件分為4種表達方法 (1)點斜式 (2)兩點式 (3)斜截式 (4)截距式

本單元的內容涵蓋國中二年級到高一的基礎數學，這些內容雖然不是非常的詳細，但這些複習範圍在我們將要學的微積分的演算過程中常常出現，如實數的完備性在中間值定理、均值定理需要用到，區間表達在函數遞增遞減表達時不可或缺，合成函數、反函數在連鎖律中必須用到，一元二次方程式之十字交乘、公式解在求臨界值不可不會，絕對值函數是連續但不可微分的經典例題，高斯函數在日常生活上如郵資計算、計時停車費計算有實際應用，也是說明單邊極限的最佳例題，熟練此範圍的基礎數學，學習微積分才不會有後顧之憂。