Cálculo vectorial y de varias variables

En esta clase se explica como dibujar un sistema de coordenadas tridimensional derecho y localizar puntos en él.  Se muestran varios ejemplos de localización de puntos en los ocho octantes, así como la forma de representarlos analíticamente.

En esta clase se explica cómo calcular la distancia entre dos puntos en 3D, así como su punto medio.  Se resuelven, como ejemplos de aplicación,  problemas que involucran esferas.

En esta clase se explica el concepto de superficie. En particular se estudian los casos de superficies con ecuaciones de la forma x=k, y=k, z=k (k es una constante arbitraria).  También se resuelven problemas geométricos que involucran a tales superficies y sus intersecciones entres sí o con esferas.

En esta clase se explica qué se entiende por cilindros en cálculo de varias variables. El concepto se ejemplifica con el uso de varias funciones elementales de precálculo, mostrando la diferencia entre sus gráficas cuando se les considera como funciones de una variable o como funciones de varias variables.  Al final de la clase se estudia cómo representar geométrica y analíticamente semiesferas, algo que es frecuentemente motivo de confusión entre los estudiantes.  Adicionalmente se dan dos enlaces a videos en Youtube, creados por el instructor, en el cual se resuelven varios ejemplos relacionados con los sistemas de coordenadas.

En esta clase se explica la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales, auxiliándose de conceptos de física general. Se introduce la idea de los vectores unitarios i, j, k  y de la representación geométrica y analítica de los vectores.  Se explican también las dos notaciones utilizadas para representar vectores, ejemplificando su uso con varios vectores.  Se discute la propiedad de deslizamiento de los vectores y se define la multiplicación de un vector por un escalar, así como la suma de vectores.  Se discute la diferencia entre componentes escalares y vectoriales, y se presentan ejemplos de componentes de vectores.

En esta clase de discuten las propiedades de los vectores, la aritmética de los vectores, cómo obtener un vector unitario a partir de un vector dado y como encontrar un vector que va de un punto a otro.  Finalmente, se  presentan algunos ejemplos resueltos de álgebra de vectores.

En esta clase se resuelve un problema de equilibrio, el cual es de gran importancia para aquellos estudiantes que tomarán el curso de Estática.  Se muestra cómo resolver esta clase de problemas, utilizando todos los conceptos aprendidos en las clases anteriores sobre vectores.

En esta clase se define el producto punto entre vectores y se discuten sus propiedades.  Finalmente se presentan ejemplos de aplicación del producto punto.

En esta clase se define el producto cruz entre vectores y se discuten sus propiedades.  Se discute el resultado de realizar el producto cruz entre los vectores unitarios i, j, k.  También se discute el producto triple escalar.  Finalmente se presentan ejemplos de aplicación del producto cruz.  Adicionalmente se dan dos enlaces a videos en Youtube, creados anteriormente por el instructor:  En uno de ellos se presenta una introducción al producto cruz y en el otro se presentan ejemplos de aplicación del producto cruz. 

En esta clase se encuentra la ecuación general de una recta en el espacio y se muestran varios ejemplos de aplicación.  Adicionalmente se dan dos enlaces a vídeos en Youtube, creados por el instructor, en el cual encontrará más ejemplos resueltos sobre rectas en el espacio.

En esta clase se obtiene la ecuación escalar de un plano y se muestran los primeros ejemplos sobre el tema.  Los restantes ejemplos sobre planos se presentan en la siguiente clase.

En esta clase se terminan de presentar ejemplos relacionados con el tema de planos.

En esta clase se discuten las características generales de las superficies cuadráticas: la forma de la ecuación de cada una de ellas, sus trazas y cómo afectan su apariencia la variación de sus parámetros.

En esta clase se resuelven algunos ejemplos sobre identificación de superficies cuadráticas.  La clase finaliza con una explicación detalla acerca de los paraboloides elípticos.

En esta clase se define el concepto de función vectorial y se discute la diferencia entre una función de variable real y una vectorial.   También se discute la línea recta en el espacio como ejemplo de función vectorial.  Finalmente se presentan varios ejemplos de funciones vectoriales tomados de física general, los cuales ayudan al estudiante a una mayor comprensión sobre el concepto de función vectorial.

En esta clase se estudian dos posibles formas de parametrizar una trayectoria circular y se muestran sus diferencias.  Se generalizan ambas parametrizaciones para arribar a las hélices circulares.  Finalmente se muestra un ejemplo de aplicación de los conceptos aprendidos en esta clase.

En esta clase se continúan presentando ejemplos relacionados con el tema de funciones vectoriales y curvas en el espacio.

En esta clase se finalizan los ejemplos sobre funciones vectoriales, mostrando cómo representar una curva cerrada en dos dimensiones.  Se discute cómo parametrizar una curva cerrada al recorrerla en cierto sentido y luego en sentido contrario.

En esta clase se define la derivada de una función vectorial y se discuten las reglas de diferenciación. También se da la interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial. Finalmente, se muestran ejemplos de aplicación de la diferenciación vectorial a problemas de física.

En esta clase se define la integración vectorial y se ejemplifica su uso en problemas de física.

En esta clase se muestra cómo calcular la longitud de arco de una curva en el espacio.  Finalmente se muestran ejemplos de cálculo de longitud de arco para curvas en el espacio.

En esta clase se discute el concepto de funciones de dos variables y se muestran ejemplos en los que se obtiene el dominio y rango para varias funciones.  En los ejemplos finales se muestra cómo representar gráficamente el dominio de varias funciones.

En esta clase se discute el concepto de curvas de nivel y se muestran ejemplos sobre cómo obtener las curvas de nivel.   Se aprovechan las capacidades de Maple para que el estudiante pueda lograr una mejor comprensión sobre las curvas de nivel a través de la visualización de gráficas que pueden ser rotadas para obtener distintas vistas.

En esta clase se explica el concepto de derivada parcial y se da la definición formal de la misma.  Se proporciona la interpretación geométrica de la derivada parcial y se muestran las distintas notaciones empleadas para derivadas parciales de primer orden.  Finalmente, se proporcionan los primeros ejemplos de cálculo de derivadas parciales de primer orden.

En esta clase se muestra cómo obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función de dos variables, en un punto dado, sobre un plano dado.  También se muestra cómo obtener estimaciones de la derivada parcial en un punto dado, a partir de una función que está representada en forma tabular.

En esta clase se muestra cómo estimar la derivada parcial en un punto dado, a partir de un mapa de curvas de nivel.

En esta clase se muestra cómo calcular derivadas parciales de orden superior.  Se muestran también las distintas notaciones utilizadas para representar derivadas de orden superior.

En esta clase se discute el tema de planos tangentes y diferenciales para funciones de dos variables.  Finalmente se muestran ejemplos de aplicación.

En esta clase se presenta la generalización de la regla de la cadena a funciones de dos variables , cada una de ellas dependiendo de una sola variable a su vez.  Se introduce la herramienta de diagrama de árbol para el cálculo de los términos en la expresión para la regla de la cadena.  Finalmente, se muestran ejemplos de aplicación.

En esta clase se muestra un ejemplo aplicado en el que se aplica la regla de la cadena para el caso de funciones de tres variables.  Se muestra cómo usar el diagrama de árbol para la construcción de la expresión correspondiente para la regla de la cadena.

En esta clase se presenta la versión general de la regla de la cadena para funciones de varias variables y se muestra un ejemplo de su uso.

En esta clase se finaliza el tema de la regla de la cadena explicando la derivación implícita de funciones de varias variables y mostrando su aplicación en un ejemplo.

En esta clase se inicia el estudio de las derivadas direccionales, explicando su significado geométrico.  También se introduce el vector gradiente.

En esta clase se muestran ejemplos del cálculo de derivadas direccionales.

En esta clase se discute la relación del vector gradiente con las curvas de nivel de una función.  Se muestran ejemplos para lograr una mayor comprensión de los conceptos discutidos en esta clase.

En esta clase se presentan las definiciones básicas relacionadas con el tema de valores extremos para funciones de dos variables.  Se apoya con el uso de gráficas construidas en Maple, las cuales permiten visualizar desde distintos ángulos los valores extremos y puntos sillas de varias funciones para una mayor comprensión del significado geométrico de los mismos. Se enuncia la definición de punto crítico y se ejemplifica el cálculo de puntos críticos para cierta función.  Se comparan los resultados analíticos con los obtenidos gráficamente, para ayudar a una mayor comprensión por parte del estudiante.

En esta clase se presenta la prueba de las segundas derivadas parciales para el cálculo de valores extremos de funciones de dos variables.  Se revisa nuevamente el ejemplo de la clase anterior, bajo la óptica de la prueba de las segundas derivadas.  Finalmente, se presenta un primer ejemplo de aplicación del tema.

En esta clase se presenta un ejemplo de aplicación de la prueba de las segundas derivadas.  Se finaliza mostrando cómo calcular los valores extremos de una función de dos variables sobre una región cerrada.

En esta clase se presenta el método de Multiplicadores de Lagrange y se muestra un primer ejemplo numérico de aplicación del mismo.

En esta clase se presentan dos ejemplos numéricos más de aplicación del método de Lagrange.

En esta clase se resuelven, utilizando el método de Lagrange, dos problemas aplicados.

En esta clase se introduce el problema geométrico que da origen a las integrales dobles.  Utilizando las capacidades de Maple para realizar gráficas que pueden ser visualizadas desde distintos ángulos, el estudiante puede obtener una mejor comprensión del significado geométrico de calcular una integral doble cuando el integrando es positivo sobre una región dada.  En esta clase se discute también el teorema de Fubini y se muestra un primer ejemplo de aplicación del mismo.

En esta clase se presenta un ejemplo de aplicación del teorema de Fubini para el cálculo del volumen de un cierto sólido sobre una región rectangular.   Se discute también el caso en que la región sobre la cual se realizará la integral doble ya no es rectangular, mostrando ejemplos para cada una de las distintas regiones generales discutidas.  Finalmente se enuncian algunas de las propiedades más importantes de las integrales dobles.

En esta clase se discute el cálculo de integrales dobles en coordenadas polares.  Se presentan ejemplos de aplicación que requieren el uso de integrales dobles en coordenadas polares para su solución.  La clase tiene un enlace a otro video, creado por el instructor, en el que se muestran otros ejemplos de aplicaciones de integrales dobles en coordenadas polares.

En esta clase se presentan ejemplos varios de aplicaciones que requieren, para su solución, integrales dobles.

En esta clase se muestra cómo calcular el área de una superfice cuya proyección se encuentra sobre el plano xy.  Finalmente, se resuelven ejemplos de cálculo del área de algunas superficies.

En esta clase se define el concepto de integral triple.  Se enuncia el teorema de Fubini para integrales triples sobre regiones rectangulares.  También se define la región tipo I de integración para integrales triples. Finalmente se resuelven ejemplos de aplicación que requieren el uso de integrales triples para su solución.

En esta clase se define el sistema de coordenadas cilíndricas y se resuelven problemas de aplicación que requieren el uso de integrales triples en coordenadas cilíndricas para su solución.

En esta clase se define el sistema de coordenadas esféricas y se resuelven problemas de aplicación que requieren el uso de integrales triples en coordenadas esféricas para su solución.

En esta clase se hace uso de las capacidades de Maple para generar gráficas que pueden ser rotadas y visualizadas desde distintos ángulos.  Se estudian algunos campos vectoriales que serán de utilidad para la parte final del curso.

En esta clase se presenta una primera definición de integral de línea y se muestran dos ejemplos de aplicación que ayudan al estudiante a comprender el significado geométrico de tales integrales.

En esta clase se presentan más ejemplos de aplicación de integrales de línea que requieren el uso de la definición de integral de línea dada en la clase anterior.

En esta clase se presentan dos definiciones adicionales de integrales de línea y se resuelven ejemplos que muestran cómo calcularlas.

En esta clase se introduce la integral de línea vectorial y se muestra cómo calcularla, utilizando como ejemplos varios de los campos vectoriales estudiados en la clase sobre campos vectoriales; también se utiliza como trayectoria la hélice circular, estudiada también en clases anteriores.

En esta clase se enuncia el teorema de Green, tanto para regiones sin agujeros como con agujeros.  Finalmente se muestran varios ejemplos sobre cómo aplicar el teorema de Green.

En esta clase se enuncia el Teorema de Stokes y se introduce el rotor de un vector.  Se muestran también diversos campos vectoriales y sus campos vectoriales de rotor asociados, los cuales serán de gran utilidad en las siguientes clases, para que el estudiante logre una mejor comprensión acerca del teorema de Stokes.

En esta clase se explica cómo aplicar el teorema de Stokes para el caso en que la región que tiene como frontera a la curva de integración posee una proyección sobre el plano xy.  Se presentan los primeros ejemplos de aplicación del Teorema de Stokes para el caso estudiado en esta clase.

En esta clase se terminan de presentar ejemplos de aplicación del Teorema de Stokes.  Se finaliza la clase discutiendo la interpretación del rotor de un campo vectorial.

En esta clase se enuncia el teorema de la divergencia.  Se explica los conceptos de flujo vectorial a través de una superficie así como de divergencia.  Utilizando como primer ejemplo uno de los campos vectoriales estudiados en la clase de campos vectoriales, se muestra la aplicación del teorema de la divergencia para el flujo a través de una esfera.

Se muestran más ejemplos de aplicación del teorema de la divergencia.  En la parte final de la clase se muestra cómo calcular el flujo a través de una superficie, primero usando el teorema de la divergencia, y luego sin hacer uso del teorema de la divergencia, con el objetivo de comparar ambos procedimientos y poder así apreciar cómo el teorema de la divergencia puede facilitar enormemente el cálculo del flujo a través de una superficie cerrada.

En esta clase se presenta un ejemplo más de aplicación del teorema de la divergencia.  Se finaliza la clase discutiendo la interpretación del teorema de la divergencia.