Cálculo diferencial, domina los límites y las derivadas

Después de una introducción a la idea de lo que es un límite, desarrollaremos este concepto a través de una definición y cuatro ejemplos (uno con GeoGebra). Más adelante se dará una definición más precisa y formal de qué es un límite.

Previo a avanzar a las siguientes lecciones repasamos el contenido aprendido en las lecturas anteriores con dos ejercicios.

De forma similar a como las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) tienen sus pasos y reglas, estableceremos las reglas que podemos usar para operar límites. Ya que tenemos la noción sobre lo que son los límites, empezamos a establecer sus leyes, las cuales nos serán de utilidad para simplificar y encontrar el valor de límites en apariencia complicados en función de límites más sencillos.

Esta es una lectura más formal en donde se da el concepto abstracto de límite a través de los valores delta y épsilon. También se da la definición de límites laterales. En la siguiente lección se complementará con la definición de límites infinitos.

Complementamos la lectura anterior dando la definición de límites infinitos a través de las desigualdades correspondientes y un ejemplo.

Después de la abstracción y teoría dada en las lecciones anteriores, en esta lección entramos al concepto de continuidad, el cual será recurrente en el estudio de cálculo. De esta lectura recordaremos a las funciones continuas como aquellas que pueden dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Se ilustrará a través de varios ejemplos y se dará también el teorema del valor intermedio, en apariencia sencillo, dicho teorema es más importante y complejo de lo que aparenta.

Luego de aprender el concepto de continuidad, pasamos a un límite al infinito, la contrapartida de los límites infinitos. De esta lectura nos llevaremos el concepto de asíntotas horizontales y el cómo han estado presentes quizá en algunos de nuestros cursos previos. Esta es una lección con bastante contenido y se recomienda tomarla por partes.

Luego de aprender sobre límites de funciones, las formas en que pueden presentarse y las técnicas para determinar sus valores o concluir sobre su existencia, corresponde estudiar un límite especial de mucha utilidad en diversos campos de las ciencias naturales y sociales, conocido como derivada. Empezando por su definición y concluyendo esta sección mostrando a la derivada como otra función obtenida a partir de la función original, la totalidad de la siguiente sección será dedicada a las técnicas de derivación.

Se inicia la lectura con un poco más de interpretación sobre lo que representa la derivada de una función, en particular se muestra el concepto de razones de cambio. Posteriormente se concluye esta sección mostrando que la derivación es una operación aplicada a una función que nos genera otra función. Se abordan las aplicaciones y la interpretación de la derivada y se muestra el uso de su definición para encontrar una forma generalizada para la derivada de una función como otra función. Si bien en apariencia esto parece un simple cambio de variable, dicha generalización será de importancia para trabajar ágilmente definiciones y conceptos más avanzados sobre derivación.

Hasta este momento, se ha evaluado la derivada a partir de su definición, la cuál debe recordarse como un límite. Sin embargo, recurrir siempre a esta definición para encontrar la derivada de una función sería poco práctico y trabajoso, por tal motivo, en esta sección se abordarán las reglas que se pueden utilizar para derivar las funciones de todos los días según su tipo. Se inicia esta sección con la lectura sobre funciones polinomiales y exponenciales.

Luego de ver la regla de la suma y diferencia, corresponde ver en esta lectura la deducción de la regla del producto y el cociente, o dicho de otra forma, de la multiplicación y división. Después de ver su deducción o demostración a través de la definición de derivada se procede a realizar diversos ejemplos.

La siguiente herramienta que añadiremos será la derivada de funciones trigonométricas. Iniciaremos por deducir la derivada de la función seno, para lo cual necesitaremos demostrar un límite trigonométrico especial en el cual se aplicaremos una técnica geométrica, sin embargo, a partir de esta demostración encontraremos la derivada de las seis funciones trigonométricas principales. Más adelante abarcaremos la deducción de funciones trigonométricas inversas.

Hasta este momento se han desarrollado reglas de derivación para funciones específicas y operaciones aritméticas, sin embargo, hay una operación especial a tomar en cuenta y es la composición de funciones. En este apartado se hará la deducción y aplicación de la regla de la cadena, la cual nos permitirá derivar funciones compuestas a partir del conocimiento de las derivadas de las funciones que lo componen.

Armados con la regla de la cadena, iniciamos otro tema de gran utilidad para la determinación de derivadas, en específico, derivadas de expresiones en las que y se da de forma implícita como una función de x, o en otras palabras, tanto y como x forman parte de la expresión que queremos derivar. En este punto también empezados a ver a la derivación como una operación que aplica y transformar las funciones en otras distintas. Adicionalmente, la derivación implícita nos será de utilidad para determinar la derivada de otras funciones.

Debido a la longitud de esta sección, se divide en dos partes.

Felicitación y agradecimiento por llegar hasta esta lectura.

Ahora que dominamos las técnicas de derivación es momento de aprender sobre las aplicaciones en las que la derivada puede ser de utilidad en nuestro campo de aplicación. Desde física, química, pasando por economía llegando incluso hasta psicología, podemos ver cómo la derivada puede ayudarnos a interpretar y entender diversos fenómenos. Luego de esta breve introducción, pasamos directamente a razones relacionadas, primer tema de aplicación en dónde le ponemos nombre y apellido a las variables x y y, y a su razón de cambio dy/dx.

Cuando se requieren cálculos rápidos de una función complicada, o bien se trabajará en intervalos pequeños en donde los valores de la función se pueden aproximar a una forma lineal, se puede utilizar la derivada para encontrar una aproximación para el modelo de esta función. Las técnicas para realizarlo se estudian en esta lectura.

Una de las aplicaciones más importantes de la derivada es la optimización de funciones, lo cual se refiere a encontrar los puntos en donde el valor de la función es máxima o mínima. De nuestra experiencia hasta este momento en el curso hemos visto que estos puntos están asociados de forma gráfica a una recta tangente horizontal, o bien un punto en dónde la derivada es igual a cero. Sin embargo, antes de entrar de lleno a la optimización de funciones, es necesario establecer conceptos teóricos y bases de las técnicas de optimización, los cuales se verán en esta lectura.

Previo a continuar con las aplicaciones de la derivada es necesario estudiar el teorema del valor medio, una base teórica de utilidad para las aplicaciones que se estudian más adelante. Para estudiar dicho teorema, previamente se presenta el teorema de Rolle que nos permitirá demostrar el teorema del valor medio, y a la vez  es una consecuencia de las técnicas de valores máximos y mínimos estudiados en la lectura anterior. Nota: El teorema del valor medio no debe confundirse con el teorema del valor intermedio.