Burcu Hoca ile Topoloji: Açık Kümelerden Kompaktlığa

Topoloji, "yakınlık" kavramını uzaklık ölçmeden anlatmanın matematiğidir. Bir kahve fincanının neden bir simitle "aynı" sayıldığını, sürekliliğin aslında açık kümelerle ilgili olduğunu ve kompaktlığın analizin pek çok teoremini neden ayakta tuttuğunu bu kursta adım adım kuruyoruz. Amacım tanımları ezberletmek değil; her kavramın neden gerektiğini örnek, karşı örnek ve şekillerle görünür kılmak.

Kurs metrik uzaylardan topolojik uzaylara geçişle başlar: açık ve kapalı kümeler, taban ve alt taban, alt limit doğrusu, iç, kapanış, sınır, yığılma noktaları ve alt uzay topolojisi. Ardından sürekli fonksiyonlar, homeomorfizmalar, dizilerin neden yetmediği ve ağlar, çarpım ve kutu topolojileri, Hausdorff uzayları ve topolojik gruplar gelir.

İkinci yarıda bağlantılılık ve yol bağlantılılık, kompaktlık, Tychonoff teoremi, yerel kompaktlık ve tek nokta kompaktlaştırması, Peano'nun boşluk dolduran eğrisi, Baire kategori teoremi, sayılabilirlik ve ayırma aksiyomları, Urysohn lemması, Tietze genişleme teoremi, Urysohn metrikleşme teoremi ve Stone–Čech kompaktlaştırması işlenir. Kurs bölüm uzayları, kareden yüzeyler, grup etkileri, simpleks kompleksler, yüzeylerin sınıflandırılmasına giriş ve homotopiyle cebirsel topolojiye köprü kurarak tamamlanır.

48 dersin her biri animasyonlu bir videodur ve her dersin yanında indirilebilir bir PDF ders notu vardır. Notlarda tanımlar, teoremler, ispatlar, çözümlü örnekler, sık yapılan hatalar ve alıştırmalar yer alır.

Ders akışında C. T. McMullen'ın Harvard Üniversitesi Topoloji (Math 131) ders notlarından yararlanılmıştır; anlatım, örnekler, hesaplar ve şekiller bu kurs için hazırlanmıştır.