Análisis de Fourier: Una introducción elemental y visual

Name: Análisis de Fourier: Una introducción elemental y visual
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Para estudiantes de ciencias e ingeniería

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Created byRanferi Gutierrez

Last updated 7/2022

Spanish

What you'll learn

Utilizar la serie trigonométrica de Fourier como herramienta para representar una función periódica.
Utilizar la función impulso delta de Dirac para el cálculo de la serie trigonométrica de Fourier de funciones periódicas
Utilizar la representación compleja de la serie de Fourier para construir el espectro de frecuencia de funciones periódicas.
Utilizar la integral de Fourier como herramienta para representar y analizar funciones no periódicas.
Obtener la transformada de Fourier de ciertas funciones especiales importantes en telecomunicaciones para su posterior aplicación en situaciones prácticas.

Course content

6 sections • 53 lectures • 11h 56m total length

Conocimientos básicos necesarios de precálculo y manejo básico de Geogebra35:49
En esta primera clase se repasan los conceptos básicos necesarios de precálculo que el estudiante debe tener para poder tomar con éxito el curso de Análisis de Fourier. Se aprovecha esta clase para presentar el software Geogebra y que el estudiante se familiarice con el mismo, aprendiendo cómo utilizarlo para hacer representaciones gráficas de funciones y otras utilidades que serán de gran ayuda para que comprenda mejor las ideas que se le presentarán durante el curso.

Introducción a vectores y a espacios vectoriales23:06
En esta clase se explica qué se entiende en matemática por un vector y un espacio vectorial. Al final de la clase el estudiante se dará cuenta que los vectores que se han tratado en los cursos de física son tan solo una clase de vectores, ya que existen otros elementos que pueden ser considerados también como vectores, a pesar de que no poseen una representación gráfica como la de los vectores de física general. La explicación se trata de hacer lo más intuitiva posible para evitar que el estudiante entre en complicaciones teóricas y pueda enfocarse en la comprensión de los conceptos.

Introducción intuitiva a las series trigonométricas de Fourier.24:39
En esta clase trataremos de que adquiera una idea intuitiva de lo que significa obtener la serie trigonométrica de Fourier de una función. No ahondaremos en detalles de cálculos en esta clase, pero si lo haremos en la siguiente.
Ejemplo 1 de cálculo de la serie de Fourier e implementación en Geogebra20:20
En esta clase realizaremos los cálculos para encontrar la serie de Fourier de f(t)=t^2, -Pi<t<Pi, T=2Pi y así mostrar que efectivamente la combinación lineal que estudiamos en la clase anterior corresponde a la serie de Fourier para esa función. En esta clase hay materiales descargables: los archivos Geogebra que se muestran en el video y las notas con los cálculos mostrados.
Ejemplo 2 de cálculo de la serie de Fourier de una función periódica26:19
En esta clase se calcula la serie trigonométrica de Fourier de un tren de ondas rectangulares. Entre otras cosas importantes, se estudia el factor (-1)^n-1 que aparece en el cálculo de coeficientes de la serie de Fourier y se muestra la forma como se redefinirá el índice "n" de la sumatoria para que se obtenga un resultado en una forma más útil, especialmente para fines de graficar en la computadora.
Ejemplo 3 de cálculo de la serie de Fourier de una función periódica30:13
En esta clase se encuentra la serie de Fourier para un tren de pulsos triangulares. Al final se hace conciencia al estudiante de lo importante que es analizar la función periódica f(t) cuya serie de Fourier se está calculando ya que al hacerlo se puede evitar realizar una gran cantidad de cálculos que den como resultado cero al final para alguno de los coeficientes de la serie.
En la siguiente clase se detalla el tipo de análisis que debe realizarse para poder determinar de antemano si algunos de los coeficientes en la serie de Fourier son cero.
Funciones pares e impares y su importancia en el cálculo de la serie de Fourier16:32
En esta clase se repasa el concepto de paridad de una función y se aplica para analizar cuáles son las componentes de paridad par e impar en la serie de Fourier. Finalmente se muestra cómo el analizar la paridad de la función periódica f(t) cuya serie de Fourier se quiere obtener puede ahorrar mucho trabajo algebraico ya que permite, de una manera fácil, determinar inmediatamente si alguno(s) de los coeficientes de la serie de Fourier son nulos.
Ejemplo 4 de cálculo de la serie de Fourier de una función periódica13:16
En esta clase se hace uso de lo aprendido en la anterior con respecto a lo importante que es analizar la paridad de la función periódica cuya serie de Fourier se quiere encontrar. En el ejemplo que se resuelve en esta clase se trata de una función impar, lo cual permite entonces afirmar que los coeficientes a0 y an, n=1, 2,... son cero y concentrarnos únicamente en encontrar el valor de los coeficientes bn, n=1, 2,...
Condiciones de Dirichlet5:11
En esta clase se enuncian cuáles son las condiciones suficientes para que una función periódica f(t) tenga una representación en serie de Fourier.
En los recursos encontrará un enlace a un video en YouTube que le permitirá apreciar la importancia en la electrónica de algunas de las funciones periódicas que hemos estudiado anteriormente.
Convergencia de la serie de Fourier en puntos de discontinuidad finita4:34
En esta clase se repasan los tipos de discontinuidad que pueden presentarse y luego se discute la convergencia de la serie de Fourier en el caso particular de funciones con discontinuidades finitas (o "de salto").
El archivo Geogebra utilizado para esta clase puede descargarlo para que lo estudie detenidamente.
Fenómeno de Gibbs10:03
En esta clase se explica el fenómeno de Gibbs, el cual consiste en esas oscilaciones rápidas en la gráfica obtenida de las sumas parciales de la serie de Fourier en los puntos de discontinuidad de salto (cuando los hay) de la función periódica f(t). Se muestra que son inevitables, ya que no se originan por algún tipo de error de redondeo o porque el software utilizado para construir las gráficas no tiene la suficiente capacidad de cálculo, sino más bien son parte de la naturaleza de las funciones periódicas que al sumarse producen ese efecto cerca de los puntos de discontinuidades de salto.
También se muestra como calcular qué tan grandes serán las amplitudes cerca de los puntos de discontinuidades de salto de las funciones periódicas f(t) que los posean.
Círculos de Fourier: Una interpretación física de la serie de Fourier14:20
En esta clase se hace una interpretación física de la serie de Fourier correspondiente a cierta función periódica f(t) escogida apropiadamente; la serie de Fourier para esa función contiene únicamente términos senoidales, lo que permite interpretarla en términos de la suma de coordenadas Y de partículas que giran con rapidez angular constante.
Dentro de los recursos puede descargar la aplicación Geogebra utilizada en esta clase, así como visualizar un video muy entretenido donde muestran cómo dibujar a Homero Simpson utilizando las ideas de Fourier y lo que se discutió en esta clase.
Teorema de Parseval (Parte 1)13:27
En esta clase se introduce el Teorema de Parseval y se resuelve un primer ejemplo relacionado con el famoso problema de matemática conocido como "El problema de Basilea". En esta clase puede encontrar un enlace a un video que describe de forma muy bonita en qué consiste el problema de Basilea, además de proporcionar datos históricos que enriquecen mucho al estudiante.
Teorema de Parseval (Parte 2)28:39
En esta clase se resuelve un segundo ejemplo sobre el Teorema de Parseval. Se trata de la aplicación de dicho teorema para calcular la potencia promedio disipada a través de una resistencia, la cual está sometida a un voltaje periódico. Puede encontrar en los materiales descargables de esta clase los detalles de los cálculos mostrados en el video.
Aproximación mediante una serie finita de Fourier10:44
En esta clase se calcula el error cuadrático medio que se comete al utilizar una serie finita de Fourier como aproximación de una función periódica f(t). Se adjunta como material descargable el archivo Geogebra que se muestra en el video, el cual permite visualizar tanto la aproximación gráfica de la función periódica f(t) mediante la serie finita de Fourier, así como el valor del error cuadrático medio correspondiente.
También, como parte del material descargable que encontrará en esta clase, encontrará una serie de ejercicios propuestos para que practique calcular la serie de Fourier correspondiente de algunas funciones periódicas. Recuerde que estos ejercicios son para que usted practique en casa, por lo que no requiere enviarlos.

Funciones periódicas con simetría par o impar21:05
En esta clase se repasa los conceptos de funciones con paridad par e impar. Posteriormente se muestran integrales que permiten calcular de manera más eficiente los desarrollos en series de cosenos o senos, dependiendo de la paridad, si la tiene, de la función periódica f(t).
Se muestra que resulta más conveniente calcular los coeficientes de la serie de Fourier utilizando las integrales mostradas en esta sección, para el caso de funciones con paridad definida, que utilizar aquellas generales presentadas en la sección anterior.
Funciones periódicas con simetría de media onda23:42
En esta clase se estudia la denominada simetría de media onda para funciones periódicas, así como aquellos en los que además de presentar esa simetría, la función periódica tiene una paridad definida también.
En cada caso se presentan las expresiones necesarias para calcular la serie de Fourier correspondiente y se ejemplifica su aplicación utilizando un problema resuelto en otra clase a partir de las definiciones convencionales para el cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier.
La clase presenta mucho material gráfico para ayudar al estudiante a comprender las simetrías que se estudian en esta clase.
Funciones periódicas con simetría escondida (Parte 1)9:47
Funciones periódicas con simetría escondida (Parte 2)10:54
En esta clase se muestra cómo, realizando una traslación vertical, es posible obtener una relación sencilla entre una función periódica dada, que no tiene simetría, y otra que, además de poseer una simetría dada, es conocida su serie de Fourier.
El ejemplo está relacionado con las señales PWM, que son de gran utilidad en electrónica. En los materiales de apoyo se deja el enlace a un canal de YouTube especializado en electrónica donde, de una forma sencilla y amena, el estudiante podrá relacionar lo aprendido en esta clase con aplicaciones a la electrónica, y así poder encontrarle más sentido a lo que está aprendiendo.
Expansión en serie de cosenos de una función no periódica10:49
En esta clase se explica cómo expandir una función f(t) no periódica, definida en un intervalo (0,b), a una función periódica de paridad par, utilizando la serie de cosenos de Fourier.
Expansión en serie de senos de una función no periódica10:31
En esta clase se explica cómo expandir una función f(t) no periódica, definida en un intervalo (0,b), a una función periódica de paridad impar, utilizando la serie de senos de Fourier.
Introducción a la función delta de Dirac14:08
En esta clase se hace una introducción elemental a la función delta de Dirac. Se apoya en el uso de las propiedades de la distribución gaussiana, así como de su gráfica, para hacer más comprensible la definición de función delta de Dirac. Se enuncian también algunas de sus propiedades básicas y se explica cómo representar gráficamente la función delta de Dirac.
Serie de Fourier de un tren de impulsos unitarios17:14
En esta clase se encuentra la serie de Fourier para un tren de impulsos unitarios (o tren de funciones delta de Dirac) a partir del conocimiento de la serie de Fourier para una función periódica particular.
Ejemplo 1: Uso de la delta de Dirac para hallar serie de Fourier24:20
Ejemplo 2: Uso de la delta de Dirac para cálculo de serie de Fourier21:34
Se resuelve un segundo ejemplo de empleo de la función delta de Dirac para el cálculo de la serie de Fourier de una función periódica. En particular se hace uso de la aproximación de la función delta de Dirac mediante una gaussiana normalizada para comprender algunos resultados importantes que se requieren aplicar para el cálculo de coeficientes de la serie de Fourier de la función de este ejemplo.

Repaso sobre números complejos22:02
En esta clase se repasan los conceptos básicos más importantes sobre números complejos, los cuales serán de utilidad para esta sección.
La serie compleja de Fourier5:27
En esta clase se deducen las expresiones necesarias para calcular la serie compleja de Fourier de cualquier función periódica f(t).
Ejemplo 1 de cálculo de serie compleja de Fourier19:11
En esta clase se resuelve un primer ejemplo de cálculo de serie compleja para una función periódica dada. Al final se obtiene, a partir de la serie compleja, la serie trigonométrica de la misma función y se comprueba el resultado a partir de un archivo Geogebra donde se muestra que el resultado obtenido converge hacia lo esperado.
Ejemplo 2 de cálculo de serie compleja de Fourier14:35
En esta clase se encuentra la serie compleja de Fourier para la función periódica conocida como seno rectificado, la cual es muy importante en la electrónica. En la parte final de la clase se utiliza la serie compleja encontrada para obtener la correspondiente serie trigonométrica de Fourier y se verifica el resultado obteniendo gráficamente utilizando Geogebra.
Ejemplo 3 de cálculo de serie compleja de Fourier15:58
En esta clase se resuelve el último ejemplo de cálculo de serie compleja de Fourier para una función periódica.
Introducción a los espectros de frecuencia39:04
En esta clase se presenta una introducción intuitiva, basada en gráficos, de lo que es un espectro de frecuencia y cómo interpretarlo. La clase incluye varios archivos Geogebra adjuntos que puede descargar para poder estudiarlos con mayor detenimiento.
Teorema de Parseval en forma compleja13:09
En esta clase se enuncia el Teorema de Parseval en su forma compleja y se muestra un ejemplo de aplicación del mismo, al cálculo de la potencia promedio disipada a través de un resistencia a la cual se le aplica un voltaje periódico.

Introducción intuitiva a la transformada de Fourier10:52
En esta clase se repasan los experimentos de la descomposición de la luz blanca en sus colores componentes, utilizando un prisma, el cual fue realizado por Newton, y el experimento inverso de la recombinación de los colores utilizando un disco giratorio.
Los experimentos descritos en el párrafo anterior permiten hacer una analogía con el proceso de encontrar la representación trigonométrica en serie de Fourier de una función periódica f(t) y el proceso de sumas parciales que permite visualizar como se va "reconstruyendo" la función periódica f(t).
Finalmente se cuestiona si es posible realizar un proceso semejante para el caso de funciones no periódicas encontrándose, de manera intuitiva, que parece plausible el realizar tal proceso.
Se invita también al estudiante a realizar su propio experimento de análisis de un sonido no periódico, tal como el mostrado durante la clase, utilizando una aplicación disponible para teléfonos inteligentes.
La integral de Fourier18:38
En esta clase se introduce la integral de Fourier y, para hacer más entendible al estudiante su significado, se compara con la serie trigonométrica de Fourier.
Se muestra también el análogo al proceso de realizar sumas parciales en la serie trigonométrica de Fourier, pero en este caso usando la integral de Fourier, para mostrar como esa integral da una representación integral de una función no periódica, resolviendo para esto un primer ejemplo.
Ejemplo 2 de uso de integral de Fourier6:44
En esta clase se resuelve un segundo ejemplo sobre el uso de la representación integral de Fourier de una función no periódica.
En este ejemplo también se muestra que, al igual como sucede con las funciones periódicas, es posible evitar algunos cálculos de coeficientes que finalmente serán cero, si se hace un análisis sobre la paridad que pueda tener la función no periódica.
Ejemplo 3 de uso de integral de Fourier5:29
En esta clase se resuelve un último ejemplo de utilización de la integral de Fourier para representar una función no periódica.
Integral de seno y coseno de Fourier11:47
En esta clase se muestra que es posible, mediante la integral de Fourier, transformar una función f(t) no periódica, la cual no posee algún tipo de paridad, en una nueva función f(t), igualmente no periódica, pero con una paridad definida, ya sea par o impar, utilizando lo que se conoce como la integral de seno (o coseno) de Fourier, según se quiera que f(t) se convierta en una función no periódica de período impar (o de período par).
La integral compleja de Fourier y la transformada de Fourier10:16
En esta clase se define la integral compleja de Fourier de funciones no periódicas y, mediante comparación con la serie compleja de Fourier de funciones periódicas, se muestra que la transformada de Fourier es la contraparte de los coeficientes cn de la serie compleja de Fourier, por lo que proporciona la información necesaria para obtener el espectro continuo de frecuencias de una función no periódica.
Ejemplo 1 de cálculo de transformada de Fourier6:47
En esta clase se calcula la transformada de Fourier y el espectro de frecuencia de un pulso rectangular.
Ejemplo 2 de cálculo de transformada de Fourier10:23
En esta clase se resuelve otro ejemplo de cálculo de transformada de Fourier para una función no periódica. En este ejemplo se introduce la función escalón unitario, o función de Heaviside.
Ejemplo 3 de cálculo de transformada de Fourier5:39
En esta clase se resuelve el último ejemplo de cálculo de transformada de Fourier de una función a partir de la definición de transformada de Fourier.
Introducción al uso de tablas de Transformadas de Fourier2:12
En esta clase se describe la tabla de Transformadas de Fourier que se utilizará para resolver ejemplos y se explican sus principales características para que el estudiante pueda utilizarla correctamente.
Ejemplo 1 del uso de tabla de transformadas de Fourier6:09
En esta clase se aplica la propiedad de linealidad y dos resultados de la tabla de transformada de Fourier a una función que es una combinación lineal de una gaussiana y una función racional.
Ejemplo 2 del uso de tabla de transformadas de Fourier6:29
En esta clase se ejemplifica el uso de la propiedad de modulación para calcular la transformada de Fourier de una función.
Ejemplo 3 del uso de tabla de transformadas de Fourier6:37
En esta clase se ilustra el uso de la propiedad de simetría (o de dualidad) para calcular la transformada de Fourier de una función dada.
Ejemplo 4 del uso de tabla de transformadas de Fourier4:34
En esta clase se ilustra el empleo de la propiedad de corrimiento en el tiempo para calcular la transformada de Fourier de una función.
Ejemplo 5 del uso de tabla de transformadas de Fourier6:28
En esta clase se aplica la propiedad de linealidad y la propiedad de corrimiento en el tiempo para calcular la transformada de Fourier de un doble pulso rectangular.
Ejemplo 6 de uso de tabla de transformadas de Fourier5:34
En esta clase se muestra cómo utilizar la propiedad de escalamiento para calcular la transformada de Fourier de una función.
Ejemplo 7 de uso de tabla de transformadas de Fourier4:26
En esta clase se utiliza nuevamente la propiedad de modulación para calcular la transformada de Fourier de una función, solo que ahora la función es de la forma g(t)=f(t)sin(wt).
Ejemplo 8: Transformada de Fourier y su relación con la paridad de una función1:29
En esta clase se muestra la relación que existe entre la paridad de una función real f(t) y la naturaleza de su transformada de Fourier. La propiedad se ilustra utilizando dos resultados obtenidos anteriormente.
Ejemplo 9 de uso de tabla de Transformadas de Fourier8:30
En esta clase se explica cómo usar la propiedad de inversión en el tiempo para calcular la transformada de Fourier de F{f(-t)}.
Ejemplo 10 de uso de tabla de transformadas de Fourier5:10
En esta clase se calculan las transformadas de Fourier de algunas funciones especiales, tales como la Delta de Dirac o la función constante, entre otros.
Convolución de dos funciones1:43
En esta última clase del curso se explica el tema de convolución. Se proporciona un enlace a mi canal de YouTube donde puede encontrar la clase, tal como la impartí a mis alumnos de la universidad, dando detalles que normalmente no vienen en los libros introductorios ni tampoco en los videos que consulté, acerca de la convolución de dos señales rectangulares. En los materiales de esta lección encontrará el enlace al video de mi canal.

Requirements

El curso requiere conocimientos de precálculo, tales como funciones periódicas, funciones por partes, manejo de identidades trigonométricas básicas, así como poder hacer gráficos de funciones. En el tema de cálculo se requiere conocimiento de técnicas básicas de integración, principalmente la sustitución algebraica. También se recomienda que el estudiante instale el Software libre Geogebra para poder realizar por si mismo algunos ejemplos de visualización. Y aunque no posea conocimientos del manejo del Software Geogebra, a lo largo del curso se explica la manera en lo puede utilizarlo en el curso.

Description

En este curso se estudia, desde un punto de vista intuitivo, visual y algebraico, las ideas detrás del análisis de Fourier.

El curso está basado en un alto porcentaje en los contenidos de los primeros cinco capítulos del libro clásico "Análisis de Fourier" , de Hwei P. Hsu, el cual ha sido el libro con el que muchas generaciones de ingenieros se han formado.

Mediante el apoyo de aplicaciones creadas en Geogebra Clásico 5 el estudiante podrá explorar el significado de muchos conceptos del análisis de Fourier que, por lo general, en los libros son tratados a un nivel meramente algebraico.

Cada una de las aplicaciones utilizadas durante el curso pueden ser descargadas por el estudiante para que pueda manipularlas desde su computadora, así como modificarlas a su gusto para poder explorar aún.

Se desarrollan muchos ejemplos, tratando que tengan una extensión adecuada que no desanime al estudiante con tanto manipuleo algebraico y a la vez le permita desarrollar habilidades algebraicas para resolver problemas más complejos.

El curso inicia con un repaso de algunos conceptos básicos de precálculo y cálculo necesarios recordar al momento de tomar el curso. En algunas partes del curso se dirige al estudiante, a través de enlaces de YouTube, a canales donde podrá aprender un poco más de la forma como se aplican en electrónica algunas ideas discutidas. También se enlaza a videos de canales dedicados a la divulgación de la matemática, los cuales le servirán como un excelente complemento a lo aprendido y le permitirá desarrollar una mayor intuición sobre lo que está estudiando en este curso.

Las notas empleadas para crear los videos son también descargables para comodidad del estudiante.

¡Disfrute el maravilloso mundo del análisis de Fourier!

Who this course is for:

El curso está dirigido principalmente a estudiantes de ingenería y de ciencias, aunque todas aquellas personas, amantes de la matemática y con los conocimientos básicos necesarios puede tomar el curso y aprender sobre el tema.

Análisis de Fourier: Una introducción elemental y visual

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