Analisi Matematica: Derivate, la Guida Definitiva!

Adesso entriamo proprio nel vivo del corso, e cominciamo a vedere che regola seguono gli m delle rette tangenti alle funzioni, in base al tipo di funzione che abbiamo: in pratica, vediamo come ricavare le funzioni derivate dalle principali funzioni elementari.

Vediamo tutte le proprietà delle operazioni di derivazione e, unendole alle derivate di funzioni elementari, vedremo come molte cose si incastrano piuttosto bene!

Quella della funzione composta è senza dubbio la formula più ambigua, ma niente panico: vediamo passo dopo passo, e con diversi trucchi ed esempi, come diventare dei maestri anche con questa tecnica di derivazione.

Lavoriamo sui casi particolari di derivazione, vedendo come tutte queste funzioni "anomale" possano essere derivate facilmente usando tutte le nozioni che abbiamo appreso fino ad ora.

Questo argomento è troppo bello per impararlo a memoria: vi prego di seguire per bene tutti i casi particolari di non derivabilità, così avrete le prove che anche l'argomento più ostico, se visualizzato, può essere capito molto facilmente.

Pronti a vedere i teoremi sulle derivate come non li avete mai affrontati?

Questo argomento è particolarmente importante, perché ci dà le basi per costruire tutto un insieme di modelli e ragionamenti che verranno mostrati dalla lezione 11 in poi.

Il teorema della funzione inversa è senza dubbio il più ambiguo e meno compreso.

In verità è piuttosto semplice se lo scomponiamo in più pezzi e li analizziamo passo dopo passo. Vediamo in cosa consiste questo teorema e soprattutto a che serve.

Prima di procedere con nuovi argomenti, vi lascio una scheda di esercizi che facciano da ripasso per tutte le tecniche di calcolo che avete imparato finora. Occhio alle derivate delle funzioni inverse: non svolgetele usando il teorema della funzione inversa, ma procedete con il calcolo diretto, usando le formule di derivazione per arcosinx, arccosx e arctanx che abbiamo visto nelle lezioni precedenti.

Questa è probabilmente la lezione più importante del corso: vediamo infatti, tra le tante applicazioni delle derivate, come usarle per tracciare in modo preciso il grafico di una funzione. Questo argomento è fondamentale per la maturità e per gli esami di Analisi all'università, per cui non risparmiatevi nel prendere appunti e nel fare gli esercizi della scheda allegata!

Visto che derivare ci piace così tanto, perché non lo facciamo un'altra volta?

Introduciamo infatti il concetto di derivata seconda e vediamo quali altre proprietà utilissime sulle funzioni vengono scoperte grazie a questo operatore.

Questa è senza dubbio la lezione più affascinante del corso: diventa emozionante capire come, da un banalissimo coefficiente angolare, si arrivi all'ottimizzazione, ovvero quella scienza che studia come scegliere gli input in modo da ottenere i migliori possibili output. Ascoltate la lezione e vedete gli esercizi associati per capire come le derivate ci hanno fatto risparmiare soldi, tempo, risorse e vite umane: e poi dicono che la matematica non serve a niente!

Grazie alle derivate possiamo anche ripercorrere tutti quegli argomenti di geometria cartesiana che avete affrontato negli anni precedenti: ogni volta che compare una retta tangente possiamo infatti rimpiazzare quei lunghi e noiosi metodi visti nei primi anni di liceo con semplicissimi calcoli di derivate!

Le applicazioni sulle derivate non finiscono qui: concludiamo il corso vedendo come la derivata, che è un costrutto geometrico, mi da informazioni importantissime sul mondo fisico, rivoluzionando il modo che abbiamo di vedere l'universo e le sue leggi.