S'initier aux mathématiques pour la finance et l'économie

D'après vous, comment les établissement financiers arrondissent-ils les résultats de leurs calculs ?

A la valeur la plus proche ? Non

A la valeur inférieure ? Non

A la valeur supérieure ? Non

A la valeur qui les arrange ? Non

A la valeur qui nous arrange ? Non plus.

La technique est un peu surprenante au premier abord, mais, bien entendu, il y a une raison logique.

Voyons ici le contexte de tout le sujet des mathématiques financières : un prêteur prête de l'argent à un emprunteur. Celui-ci doit le lui rembourser en versant des intérêts pour rémunérer le prêteur du service qu'il lui a rendu.

Première méthode de calcul de l'intérêt : l'intérêt simple. A retenir :

• le taux d'intérêt donné se rapporte toujours à une période (en général, il est annuel).
• les intérêts simples ne s'appliquent pas en toutes circonstances. 

Pour les comptes sur livret (Livret A, LEP, Livret Jeunes,...), les banques pratiquent une méthode de calcul du nombre de périodes particulière qu'il convient de connaître : la méthode des quinzaines. Et le calcul n'est pas le même suivant que l'on effectue un dépôt ou un retrait.

En ressource, je vous mets un lien vers un tutoriel permettant de construire soi-même sa simulation de relevé de compte sur livret au tableur.

Nous effectuons deux placements simultanés de sommes différentes, à des taux d'intérêt différents, pour des durées différentes. Comment calculer le taux d'intérêt moyen rapporté par ces deux placements en prenant en compte toutes ces données?

Attention : Ne pas confondre avec le taux moyen de plusieurs évolutions successives, vu dans la section Pourcentages. Ce n'est pas du tout la même procédure de calcul.

Lorsque l'on doit prévoir le montant de notre épargne à plusieurs années, il existe un moyen plus rapide que de calculer les intérêts chaque 31 décembre pour les créditer au capital. Vous pouvez avancer d'un coup d'autant d'années pleines que vous le souhaitez grâce à la formule des intérêts composés.

Voici deux exemples d'utilisation de la formule des intérêts composés:

- Vous voulez doubler le montant de votre épargne à dix ans. Quel taux d'intérêt devez-vous obtenir ?

- Si vous pensez pouvoir placer votre épargne à un taux de 3% annuels, combien d'années cela vous prendra-t-il pour doubler votre épargne ?

En général, pour se constituer un capital, on ne place pas une grosse somme d'un coup, pour attendre pendant des années qu'elle fructifie. On effectue plutôt des versements périodiques, appelés annuités. 
Voici quelques éléments de vocabulaire concernant les annuités.

La valeur acquise est la somme que vous avez acquise sur votre plan d'épargne à la date où vous décidez d'en retirer les fonds. Il faut alors calculer pour chaque annuité le montant des intérêts générés en fonction de la période durant laquelle la somme est restée au crédit du plan.

Le total des annuités et des intérêts donne le résultat. En voici un exemple.

La valeur actuelle est un indicateur de l'efficacité de votre plan d'épargne. Elle consiste à ramener l'ensemble de vos versements à une date antérieure, typiquement la date d'ouverture de votre plan.
La méthode de calcul est très similaire à celle de la valeur acquise.

Souvent, les plans d'épargne sont alimentés par des annuités qui sont toutes du même montant.

Dans ce cas, des procédures existent, qui permettent de calculer directement une valeur acquise ou une valeur actuelle sans avoir à dresser un tableau et à calculer ligne par ligne pour chaque annuité.

Nous introduisons ici ces procédures à l'aide d'un exemple, puis nous donnerons les formules de calcul à la session suivante.

Voici les formules à utiliser dans le cas où le plan d'épargne étudié est alimenté par annuités constantes :

• formule de calcul de la valeur acquise (rente à termes échus)
• formule de calcul de la valeur actuelle

Présentation (par l'exemple) des suites d'annuités à progression arithmétique. Tableau, identification de la problématique.

Formules de la calcul concernant les plans d'épargne alimentés par des annuités en progression arithmétique pour le calcul de :

• la valeur actuelle
• la valeur acquise

Autre mode d'alimentation d'un plan d'épargne par annuités : on verse à chaque période x% de plus (ou de moins) qu'à la période précédente. On parle alors de suite d'annuités en progression géométrique.

Attention : dans ce cas de figure, deux alternatives sont à distinguer :

• celle où le taux d'intérêts est différent du taux de progression des annuités (cas général)
• celle où le taux d’intérêts est égal au taux de progression des annuités (cas particulier)

Les formules de calcul seront données à la session suivante.

Dans cette session, nous voyons et appliquons les formule de calcul de la valeur actuelle et de la valeur acquise pour les suites d'annuités en progression géométrique.

Dans cette session et les trois suivantes, nous nous intéressons au remboursement d'emprunt.

Lorsque l'on contracte un prêt auprès d'une banque, on peut le rembourser progressivement, par annuités. Chacune de ses annuités se divise en :

• une partie consacrée au remboursement du capital emprunté, appelé l'amortissement,
• une partie consacrée au paiement des intérêts

Nous donnons ici les généralités à connaître concernant les emprunts bancaires, dont nous nous servirons au cours des prochaines sessions.

Nous avons emprunté une somme à un établissement bancaire et nous souhaitons rembourser notre emprunt par mensualités constantes, c'est-à-dire en versant chaque mois la même somme.

Nous allons voir ici:

• comment calculer le montant du versement mensuel
• comment construire le tableau d'amortissement récapitulant tous les versements
• comment calculer le coût total de notre emprunt (c'est-à-dire le total des intérêts que nous aurons versés)

Nous avons emprunté une somme à un établissement bancaire et nous souhaitons rembourser notre emprunt à amortissement constant, c'est-à-dire en soldant chaque mois le même partie de la somme empruntée.

Nous allons voir ici:

• comment calculer la somme amortie chaque mois
• comment construire le tableau d'amortissement récapitulant tous les versements
• comment calculer le coût total de notre emprunt (c'est-à-dire le total des intérêts que nous aurons versés)

A votre avis, le remboursement à amortissement constant est-il plus ou moins onéreux que le remboursement par mensualités constantes ?

Un mode de remboursement d'emprunt qui peut paraître curieux au premier abord, mais qui peut se justifier dans certains cas : le remboursement in fine.

Il consiste à ne payer que les intérêts de l'emprunt à chaque mensualité et solder la totalité du restant dû avec la dernière mensualité.

Nous allons voir comment il fonctionne et dans quels cas il trouve son utilité.

Nous commençons un court module de mathématiques pour l'économie. Dans cette session et la suivante, nous allons nous pencher sur la loi de l'offre et de la demande.

Admettons que vous vouliez mettre sur le marché un article et que vous réfléchissiez au juste prix de vente à fixer, il vous faudra tenir compte de vos objectifs, ainsi que du comportement du marché. Ces deux facteurs sont modélisés par deux fonctions : la fonction d'offre et la fonction de demande. Vous allez voir ici comment les déterminer.

Après avoir modélisé les évolutions du prix de vente en fonction de l'offre et de la demande, il faut déterminer le prix qui représentera le meilleur compromis entre les deux contraintes. C'est ce que nous appelons le point d'équilibre.

Vous obtiendrez aussi la quantité d'articles que vous prévoyez de vendre et pourrez ainsi en déduire votre chiffre d'affaires prévisionnel.

Voyons à présent comment se comportent les coûts de production des articles que vous désirez commercialiser, en fonction du nombre d'articles produits. On comprend assez facilement que le coût n'est pas proportionnel au nombre d'articles.

La fonction de coût est la fonction qui permet de calculer le coût à l'aide du volume de la production. Nous voyons ici comment elle se comporte et nous nous en servons pour estimer le volume à produire pour dépasser (ou ne pas dépasser) un certain seuil de dépenses.

En admettant qu'il n'y a aucun invendu, le chiffre d'affaires est proportionnel au volume de produits fabriqués et vendus. Or, d'après la session précédente, les coûts de production ne sont pas proportionnels à ce même volume. Nous en déduisons donc que le bénéfice n'est pas proportionnel au volume des ventes. 

En fait, nous mettons en évidence le fait que pour que le bénéfice soit positif (pour ne pas perdre d'argent), le volume de la production / vente doit se situer dans un certain intervalle borné.

Ce phénomène a été énoncé pour la première fois par l'économiste britannique David Ricardo et s'appelle la loi des rendements décroissants. Nous le mettons en évidence ici par le calcul dans un exemple.