Álgebra Lineal III - Espacios Vectoriales

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En este ejercicio tenemos que analizar las características de Subespacios Vectoriales dados a partir de conjuntos de generadores. Vemos las distintas formas de expresarlos y como llegar a una base de cada uno y a sus dimensiones.

En este ejercicio determinamos bases y dimensiones de Subespacios Vectoriales en R5 y R4 y determinamos las coordenadas de vectores en esas bases.

Hallamos las bases y las dimensiones de diferentes Subespacios Vectoriales definidos mediante propiedades que luego se traducen en fórmulas o ecuaciones.

Un ejercicio donde se analizan Subespacios Vectoriales de polinomios y se busca una base y la determinación de la dimensión de cada espacio.

Este ejercicio parece particularmente complejo pero poco a poco se puede ir desentrañando la solución y veremos que no es tan difícil como parece. Se trata de establecer las ecuaciones a partir de la expresión matricial y operar de la forma tradicional para obtener una conjunto de generadores que pueda ser tomado como base.

Análisis de conjunto de vectores que aparentan ser Subespacios Vectoriales pero que rápidamente se puede comprobar que no cumplen con las condiciones necesarias.

Seguimos verificando si ciertos conjuntos son Subespacios Vectoriales mediente la comprobación de propiedades que deben cumplir.

Ejercicio típico dónde se busca la combinación lineal que corresponde a un vector y donde se expresan vectores en otras bases mediante sus coordenadas en esa base nueva.

Ejercicio variado donde se completa una base de un Subespacio Vectorial y se determinan coordenadas en esa nueva base.

Ejemplo dónde se obtiene la intersección de dos Subespacios Vectoriales que son planos y resultan en una recta. Buscamos su base y la dimensión del espacio Intersección.

Ejemplo dónde hallamos la intersección de un plano y una recta representando cada uno un Subespacio Vectorial. Verificamos las dimensiones de los Subespacios Vectoriales involucrados.

Nuevamente analizamos el espacio que resulta de la intersección de dos Subespacios Vectoriales, en este caso un plano y una recta oblicua, por lo tanto la intersección solo puede ser el vector nulo.

Explicación conceptual de la suma de espacios vectoriales y de cómo interpretar la “operación” que estamos realizando. Interpretación geométrica del resultado de esta “operación”.

Ejemplo de la obtención de la suma de un subespacio vectorial de dimensión 1 (recta) y de un Subespacio Vectorial de dimensión 2 (plano) cuya intersección es el vector nulo u origen de coordenadas. Verificación de las dimensiones de los espacios involucrados.

Ejemplo de la obtención de la suma de dos subespacios vectoriales, verificar que es una suma directa. Explicación del concepto de Complemento Ortogonal y como obtenerlo para distintos tipos de Subespacios Vectoriales

Ejemplo donde buscamos el Complemento Ortogonal de un Subespacio Vectorial y se analiza el concepto de complemento (viendo quela suma es directa y da como resultado el espacio contenedor). Buscamos las ecuaciones del Complemento Ortogonal y una base y dimensión del mismo.

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Ejercicio dónde se debe hallar la suma de dos Subespacios Vectoriales y los complementos ortogonales de ellos y descubrir cierta relación. Se verifica también que la suma es Suma Directa.

A partir de las ecuaciones de dos Subespacios Vectoriales, obtener base y dimensión de su suma, su intersección y sus complementos ortogonales.

Hallar la base y la dimensión de los Subespacios Vectoriales resultantes de hacer la intersección y la suma de los espacios dados a partir de generadores y a partir de ecuaciones. Interpretación geométrica de los resultados.

Dado un Subespacio Vectorial en R4, se busca una base y la dimensión de su Complemento Ortogonal.

Dado un Subespacio Vectorial en R5 a partir de ecuaciones, hallar una base y la dimensión de su Complemento Ortogonal.

Explicación del concepto de Proyección escalar y proyección vectorial de un vector sobre otro y del vector sobre u Subespacio Vectorial y su complemento ortogonal

Ejercicio dónde se calcula la proyección de un vector sobre un Subespacio Vectorial y sobre su Complemento Ortogonal. Además se hace la interpretación geométrica y se verifican propiedades.

Ejercicio dónde se calcula la proyección de un vector sobre un Subespacio Vectorial y sobre su Complemento Ortogonal. Además se hace la interpretación geométrica y se verifican propiedades.