Математика с Mathcad-практикумом

Вводный курс по математическому анализу по типовой программе курса 18.01 «Calculus» (MIT) и практикумом на Mathcad.
4.7 (22 ratings) Instead of using a simple lifetime average, Udemy calculates a
course's star rating by considering a number of different factors
such as the number of ratings, the age of ratings, and the
likelihood of fraudulent ratings.
634 students enrolled
Free
Start Learning Now
  • Lectures 137
  • Length 8.5 hours
  • Skill Level Intermediate Level
  • Languages Russian
  • Includes Lifetime access
    30 day money back guarantee!
    Available on iOS and Android
    Certificate of Completion
Wishlisted Wishlist

How taking a course works

Discover

Find online courses made by experts from around the world.

Learn

Take your courses with you and learn anywhere, anytime.

Master

Learn and practice real-world skills and achieve your goals.

About This Course

Published 10/2015 Russian

Course Description

Изучите вводный курс по математическому анализу (Calculus I - дифференциальное и интегральное исчисление для функций одной переменной). За основу взята типовая программа курса 18.01 «Calculus» (Massachusetts Institute of Technology, 1-й семестр по специальности Software Engineering).

Познакомьтесь с тем, как преподается математика в одном из лучших технических ВУЗов США.

Курс включает видеолекции и лабораторные работы в формате Mathcad. Практикум можно просмотреть на Udemy и повторить расчеты, изменяя параметры (требуется установка бесплатного редактора Mathcad Express или коммерческой версии Mathcad Prime).

Почти к каждой лекции прилагается файл практикума на Mathcad.

Для решения тренировочных и контрольных задач также желательно использовать Mathcad Prime 3.1. Для успешного освоения курса требуется знание математики в объеме 9 классов средней школы (желательно, 11 классов).

Курс содержит:

  • Понятия предела, производной,непрерывности
  • Правила дифференцирования, ряды, аппроксимация функций
  • Исследование графиков (максимум и минимум, точки перегиба, разрыва
  • Первообразная, неопределенный и определенный интеграл
  • Фундаментальные теоремы мат.анализа
  • Методы интегрирования (по частям, подстановкой, численные)

Студенты, закончившие курс, не только получат базовые знания по мат.анализу, но и научатся их применять в среде Mathcad.

What are the requirements?

  • Надо знать математику на уровне 9 -10 класса средней школы.
  • Желательно (но не обязательно) установить Mathcad Express с сайта nerepetitor.ru

What am I going to get from this course?

  • решать задачи мат.анализа, использовать Mathcad
  • познакомиться с типовой программой Calculus I американского ВУЗа

What is the target audience?

  • Старшеклассники и студенты, изучающие курс мат.анализа.
  • Инженеры и специалисты, которым надо быстро вспомнить раздел математики и применить знания на практике.

What you get with this course?

Not for you? No problem.
30 day money back guarantee.

Forever yours.
Lifetime access.

Learn on the go.
Desktop, iOS and Android.

Get rewarded.
Certificate of completion.

Curriculum

Section 1: Графики на плоскости
03:12

Вводная лекция содержит приветствие автора курса и информацию об общей направленности курса, включая акцент на "живые" практические занятия в Mathcad. Автор подчеркивает, что курс относится к математическому анализу функции одной переменной и включает основы дифференциального и интегрального исчисления.

Несколько упрощая, можно сказать, что основные задачи математического анализа - это:
Задача 1. Основная задача дифференциального исчисления - найти касательную к графику f(x) в заданной точке x.

Задача 2. Основная задача интегрального исчисления - найти площадь под графиком f(x) между двумя заданными точками x1 и x2.

! Загрузите архив с практикумом здесь
2 pages
01:02

Лекция посвящена основам аналитической геометрии: рассматривается уравнение прямой на плоскости, вводится понятие наклона прямой. Обсуждаются уравнения параллельных и перпендикулярных прямых.

Практикум: примеры графиков прямых
4 pages
05:38

Рассматривается задача построения секущей через две точки графика некоторой функции. Обсуждается понятие касательной к графику, как предельного значения секущих, проходящих через две близкие точки графика.

Практикум: примеры секущих и касательных
3 pages
06:27

Приводится пример отыскания секущей и касательной для графика квадратичной функции.

Практикум: построение касательной
2 pages
Section 2: Производная функции
05:54

Вводится определение производной функции в точке. Обсуждается равенство значения производной функции в точке наклону касательной к графику функции в этой точке. Выписывается уравнение касательной.

Практикум: вычисление производной функции
2 pages
05:22

Приводится пример вычисления производной функции f(x)=x^2+b в точке х=а (согласно определению производной, как предела). Обсуждается независимость производной от добавления к функции константы.

08:09

Вводится определение правой и левой производных функции в точке, как правого и левого предела, соответственно. Приводится пример расчета правой и левой производных для кусочно-непрерывной функции.

Практикум: Правая и левая производная
2 pages
07:08
Лекция вводит понятие дифференциала, при помощи которого определяется дифференцируемость функций. Приводится пример всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции Вейерштрасса.
Практикум: понятие о дифференциале
1 page
Практикум: функция Вейерштрасса
1 page
06:29
Несколько физических примеров применения производной: расчет скорости и ускорения для объекта, свободно падающего в поле тяжести.
Практикум: расчет скорости и ускорения в механике
2 pages
Section 3: Предел функции
07:07
В упрощенном варианте вводится понятие предела функции в точке. Обсуждается математический смысл предела (на примере серии графиков функции во все более мелком масштабе). Приводится пример вычисления предела функции в точке, в которой функция не определена.
Практикум: знакомство с понятием предела
2 pages
06:05

Рассматриваются правила определения пределов: предел суммы, разности, произведения, частного, а также предел сложной функции.

06:03
Рассматривается решение нескольких задач по нахождению пределов (от степенной функции, полинома, рациональной дроби).
05:21

Доказывается "лемма о сэндвиче", которая будет использоваться для вычисления нескольких пределов, имеющих ключевое значение.

Практикум: иллюстрация "леммы о сэндвиче"
3 pages
08:04


Вычисляются два тригонометрических предела, которые важны для дальнейшего освоения материала.

Практикум: иллюстрация к тригонометрическим пределам
3 pages
08:07
В заключительной лекции главы рассматривается вычисление бесконечных пределов.
Практикум: бесконечные пределы
5 pages
Section 4: Непрерывность функций
08:56

Дается определение непрерывности функции в точке, на интервале, на сегменте. Приводится несколько примеров непрерывных и разрывных функций. Подчеркивается, что для непрерывности функции в точке необходимо выполнение трех условий: существование функции в точке, предела функции в этой точке, и их равенство.

Практикум: непрерывность функций
3 pages
07:10

Приводится несколько примеров разрывных функций и дается классификация точек разрыва: устранимые разрывы, разрывы 1-го и 2-го рода (в англоязычной литературе – removable, jump, infinite, essential).

Практикум: классификация точек разрыва
5 pages
05:15
Доказывается теорема о непрерывности функции, дифференцируемой на интервале. Приводится пример неверности обратного утверждения.
Практикум: связь дифференцируемости и непрерывности
2 pages
03:55

Обсуждается несколько примеров непрерывных и разрывных функций. Решаются типовые задачи, связанные с непрерывностью и классификацией точек разрыва.

Практикум: примеры задач на непрерывность функций
3 pages
Section 5: Правила дифференцирования
04:16

Лекция посвящена простейшим правилам: вычисление производной функции-константы, произведения функции на константу, а также суммы и разности двух функций

Практикум: простейшие правила дифференцирования
1 page
03:07

При помощи определения производной функции выводятся формулы дифференцирования произведения и отношения двух функций.

Практикум: дифференцирование произведения и отношения
1 page
04:29
Пользуясь выведенными простейшими правилами дифференцирования, несложно получить формулы для вычисления производной степенной функции (с положительным и отрицательным целым показателем степени), а также полиномов.
Практикум: дифференцирование полиномов
1 page
03:43

Рассматривается вопрос вычисления производных базовых тригонометрических функций (sin, cos). При помощи полученных результатов вычисляются производная тангенса.

Практикум: дифференцирование тригонометрических функций
1 page
03:02

Несколько примеров вычисления производных на основе доказанных правил дифференцирования (полинома, произведения, отношения, тригонометрических функций)

Практикум: примеры дифференцирования
2 pages
Section 6: Дифференцирование сложных и неявных функций
05:28
Рассматривается вычисление производной сложной функций, называемое в англоязычной литературе "chain rule" ("правило цепочки"). Приводится несколько примеров
Практикум: дифференцирование сложной функции
1 page
04:07

Вводится понятие второй производной функции (как производной от ее первой производной). Аналогично, определяются и производные высших порядков (3-я, 4-я и т.д.). Обсуждается графический смысл 2-й производной (связь с выпуклостью графика

Практикум: вторая производная. Производные высших порядков
1 page
05:16
Приводится несколько примеров на применение правила дифференцирования сложной функции и вычисления производных высших порядков. В частности, рассматриваются задачи на дифференцирование тригонометрических функций и физические примеры вычисления скорости и ускорения.
Практикум: дифференцирование сложной функции - примеры
2 pages
06:12
Вводится понятие неявной функции и основная идея вычисления производной неявной функции. В качестве примера неявной функции приводится петля Декарта x^3 + y^3 = 3axy.
Практикум: дифференцирование неявной функции
2 pages
Section 7: Дифференцирование различных функций
06:20

Рассматривается задача вычисления производной показательной функции f(x)=ax. Отыскивается значение показателя a=e=2.7, при котором производная равна самой функции f(x)=f’(x)=ex. Обсуждается другой вид определения числа e (через соответствующий предел).

Практикум: производная экспоненциальной функции
2 pages
03:42

На основе свойств производной экспоненциальной функции решается задача дифференцирования показательной функции f(x)=ax с произвольным показателем a.

Практикум: дифференцирование показательной функции
2 pages
04:22

Лекция посвящена дифференцированию функций, образованных от экспоненциальной: логарифмических и гиперболических. Вводятся понятия натурального логарифма, sinh, cosh, th. Вычисляется производная обратной функции.

Практикум: дифференцирование логарифма и гиперболических функций
2 pages
04:13
Рассматриваются несколько примеров вычисления производных некоторых комбинаций экспоненциальной, логарифмической и гиперболических функций.
Практикум: дифференцирование - примеры
2 pages
Section 8: Аппроксимация функций
04:27
На основе определения производной решается задача приближения (или, по-другому, аппроксимации) функции f(x) линейной функцией y=ax+b в точке. В качестве прямой линии, приближающей в точке х=а график f(x) берется касательная к графику f(x) в точке а. На нескольких примерах исследуется, насколько близко линейное приближение к функции f(x).
Практикум: линейная аппроксимация
1 page
05:54

Качественно рассматривается более общая задача - приближение функции f(x) в некоторой точке а степенным рядом. Приводится несколько примеров и оцениваются погрешности.

Практикум: о разложении функции в ряд
2 pages
05:47
Рассматривается задача аппроксимации функции f(x) квадратичной функцией y=ax2+bх+с в точке а. Устанавливается связь между коэффициентами a, b, c и значениями первой и второй производной.
Практикум: квадратичная аппроксимация
2 pages
05:07
Рассматривается разностное вычисление производной функции в точке при помощи линейной аппроксимации. Анализируются сопутствующие ошибки округления. Аналогично строится разностное выражение для 2-й производной.
Практикум: численное дифференцирование
2 pages
Section 9: Исследование графиков функций
06:23
Лекция посвящена исследованию графиков функций на монотонность и отыскание локальных максимума и минимума, выпуклости и точек перегиба графика.
Практикум: максимум и минимум функции
1 page
06:58
Устанавливается связь точек экстремума функции f(x) с поведением ее 1-й производной f'(х). Функция f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке a, если в этой точке f'(a)=0.
Практикум: связь экстремума с 1-й производной
2 pages
03:55

Обсуждается теорема о наибольшем значении (EVT, теорема Вейерштрасса), говорящая об ограниченности непрерывной функции на сегменте (закрытом интервале) и о достижении функцией наибольшего (и наименьшего) значения на этом сегменте.

Практикум: теорема о наибольшем значении
2 pages
05:24
Рассматривается связь поведения 2-й производной функции f''(х) с выпуклостью графика f(x). Показывается, что f''(х)=0 в точках перегиба функции. Устанавливается критерий отыскания точек максимума и минимума функции по значениям первой и второй производной f' (a) и f''(a).
Практикум: связь особых точек со 2-й производной
2 pages
Section 10: Теоремы о функциях, непрерывных на интервале
05:18
Обсуждается теорема Ролля, говорящая о том, что производная функции f(x), непрерывной и дифференцируемой на закрытом интервале (сегменте [a,b]), хотя бы один раз обращается в ноль внутри сегмента при условии f(a)=f(b).
Практикум: теорема Ролля
3 pages
07:01
Лекция посвящена теореме Вейерштрасса о среднем значении (mean value theorem). Она утверждает, что для функции f(x), непрерывной и дифференцируемой на сегменте [a,b], в некоторой точке сегмента выполнено соотношение: f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
Практикум: теорема о среднем значении (MVT)
3 pages
05:41
Лекция резюмирует основные шаги исследования графика функции: 1. Поиск особых точек и значения функции в особых точках; 2. Исследование знака 1-й производной f'(х) между особыми точках. 3. Отыскание нулей функции f(x); 4. Поведение функции f(x) на бесконечности; 5. Поведение функции f(x) вблизи точек, в которых она не определена.
Практикум: собые точки функции
2 pages
06:23

В качестве иллюстрации приводится полное исследование функции (на примере полинома): отыскание нулей и особых точек, для которых затем диагностируется достижение максимума и минимума (по значениям первой и второй производной).

Практикум: полное исследование полиномиальной функции
1 page
Section 11: Неопределенный интеграл
04:14

Обсуждается процедура "анти-дифференцирования" (обратная дифференцированию функции) и вводится понятие антипроизводной. На основании теоремы о среднем значении показывается, что для данной функции существует бесконечное число антипроизводных, отличающихся друг от друга на константу.

04:30
Вводятся начальные понятия интегрального исчисления: первообразная (то же, что антипроизводная), неопределенный интеграл, подынтегральная функция, интегрирование по переменной. Приводятся примеры вычисления неопределенного интеграла.
Практикум: первообразная и неопределенный интеграл
3 pages

Students Who Viewed This Course Also Viewed

  • Loading
  • Loading
  • Loading

Instructor Biography

Graduated from Moscow University (MSU) in 1993 and received PhD in 1997, worked as a researcher at the Moscow University (Dept. of Physics, 1993-2004), Keldysh Inst. of Applied Maths, Russian Academy of Sciences (2004-2013).

Mathcad professional (20+ years experience) : 5+ books about Mathcad (2 in US), beta tester of last 5-7 versions of Mathcad (Mathsoft, PTC). Sell and support PTC Mathcad, Windchill Quality Solutions (Relex) and ThingWorx (IoT solution) in Russian PTC reseller.

Founder of the "School of Engineers" (2015) and Polybook Multimedia Ltd (2005).

Ready to start learning?
Start Learning Now