Математика с Mathcad-практикумом
5.0 (23 ratings)
Instead of using a simple lifetime average, Udemy calculates a course's star rating by considering a number of different factors such as the number of ratings, the age of ratings, and the likelihood of fraudulent ratings.
928 students enrolled
Wishlisted Wishlist

Please confirm that you want to add Математика с Mathcad-практикумом to your Wishlist.

Add to Wishlist

Математика с Mathcad-практикумом

Вводный курс по математическому анализу по типовой программе курса 18.01 «Calculus» (MIT) и практикумом на Mathcad.
5.0 (23 ratings)
Instead of using a simple lifetime average, Udemy calculates a course's star rating by considering a number of different factors such as the number of ratings, the age of ratings, and the likelihood of fraudulent ratings.
928 students enrolled
Created by Dmitri Kiryanov
Last updated 10/2015
Russian
Price: Free
Includes:
  • 6 hours on-demand video
  • 67 Supplemental Resources
  • Full lifetime access
  • Access on mobile and TV
  • Certificate of Completion
What Will I Learn?
  • решать задачи мат.анализа, использовать Mathcad
  • познакомиться с типовой программой Calculus I американского ВУЗа
View Curriculum
Requirements
  • Надо знать математику на уровне 9 -10 класса средней школы.
  • Желательно (но не обязательно) установить Mathcad Express с сайта nerepetitor.ru
Description

Изучите вводный курс по математическому анализу (Calculus I - дифференциальное и интегральное исчисление для функций одной переменной). За основу взята типовая программа курса 18.01 «Calculus» (Massachusetts Institute of Technology, 1-й семестр по специальности Software Engineering).

Познакомьтесь с тем, как преподается математика в одном из лучших технических ВУЗов США.

Курс включает видеолекции и лабораторные работы в формате Mathcad. Практикум можно просмотреть на Udemy и повторить расчеты, изменяя параметры (требуется установка бесплатного редактора Mathcad Express или коммерческой версии Mathcad Prime).

Почти к каждой лекции прилагается файл практикума на Mathcad.

Для решения тренировочных и контрольных задач также желательно использовать Mathcad Prime 3.1. Для успешного освоения курса требуется знание математики в объеме 9 классов средней школы (желательно, 11 классов).

Курс содержит:

  • Понятия предела, производной,непрерывности
  • Правила дифференцирования, ряды, аппроксимация функций
  • Исследование графиков (максимум и минимум, точки перегиба, разрыва
  • Первообразная, неопределенный и определенный интеграл
  • Фундаментальные теоремы мат.анализа
  • Методы интегрирования (по частям, подстановкой, численные)

Студенты, закончившие курс, не только получат базовые знания по мат.анализу, но и научатся их применять в среде Mathcad.

Who is the target audience?
  • Старшеклассники и студенты, изучающие курс мат.анализа.
  • Инженеры и специалисты, которым надо быстро вспомнить раздел математики и применить знания на практике.
Students Who Viewed This Course Also Viewed
Curriculum For This Course
137 Lectures
08:28:51
+
Графики на плоскости
8 Lectures 16:19

Вводная лекция содержит приветствие автора курса и информацию об общей направленности курса, включая акцент на "живые" практические занятия в Mathcad. Автор подчеркивает, что курс относится к математическому анализу функции одной переменной и включает основы дифференциального и интегрального исчисления.

Несколько упрощая, можно сказать, что основные задачи математического анализа - это:
Задача 1. Основная задача дифференциального исчисления - найти касательную к графику f(x) в заданной точке x.

Задача 2. Основная задача интегрального исчисления - найти площадь под графиком f(x) между двумя заданными точками x1 и x2.

Введение: предмет мат.анализа
03:12

! Загрузите архив с практикумом здесь
2 pages

Лекция посвящена основам аналитической геометрии: рассматривается уравнение прямой на плоскости, вводится понятие наклона прямой. Обсуждаются уравнения параллельных и перпендикулярных прямых.

Уравнение прямой на плоскости
01:02

Практикум: примеры графиков прямых
4 pages

Рассматривается задача построения секущей через две точки графика некоторой функции. Обсуждается понятие касательной к графику, как предельного значения секущих, проходящих через две близкие точки графика.

Графики на плоскости: секущая и касательная
05:38

Практикум: примеры секущих и касательных
3 pages

Приводится пример отыскания секущей и касательной для графика квадратичной функции.

Пример построения касательной
06:27

Практикум: построение касательной
2 pages
+
Производная функции
10 Lectures 33:02

Вводится определение производной функции в точке. Обсуждается равенство значения производной функции в точке наклону касательной к графику функции в этой точке. Выписывается уравнение касательной.

Производная функции в точке. Наклон касательной
05:54

Практикум: вычисление производной функции
2 pages

Приводится пример вычисления производной функции f(x)=x^2+b в точке х=а (согласно определению производной, как предела). Обсуждается независимость производной от добавления к функции константы.

Пример вычисления производной функции f(x)=x^2
05:22

Вводится определение правой и левой производных функции в точке, как правого и левого предела, соответственно. Приводится пример расчета правой и левой производных для кусочно-непрерывной функции.

Правая и левая производная
08:09

Практикум: Правая и левая производная
2 pages

Лекция вводит понятие дифференциала, при помощи которого определяется дифференцируемость функций. Приводится пример всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции Вейерштрасса.
Недифференцируемые функции. Пример: функция Вейерштрасса
07:08

Практикум: понятие о дифференциале
1 page

Практикум: функция Вейерштрасса
1 page

Несколько физических примеров применения производной: расчет скорости и ускорения для объекта, свободно падающего в поле тяжести.
Производная функции с физической точки зрения
06:29

Практикум: расчет скорости и ускорения в механике
2 pages
+
Предел функции
10 Lectures 40:47
В упрощенном варианте вводится понятие предела функции в точке. Обсуждается математический смысл предела (на примере серии графиков функции во все более мелком масштабе). Приводится пример вычисления предела функции в точке, в которой функция не определена.
Понятие предела
07:07

Практикум: знакомство с понятием предела
2 pages

Рассматриваются правила определения пределов: предел суммы, разности, произведения, частного, а также предел сложной функции.

Правила вычисления пределов
06:05

Рассматривается решение нескольких задач по нахождению пределов (от степенной функции, полинома, рациональной дроби).
Примеры вычисления пределов
06:03

Доказывается "лемма о сэндвиче", которая будет использоваться для вычисления нескольких пределов, имеющих ключевое значение.

Лемма о сэндвиче
05:21

Практикум: иллюстрация "леммы о сэндвиче"
3 pages


Вычисляются два тригонометрических предела, которые важны для дальнейшего освоения материала.

Два тригонометрических предела
08:04

Практикум: иллюстрация к тригонометрическим пределам
3 pages

В заключительной лекции главы рассматривается вычисление бесконечных пределов.
Бесконечные пределы
08:07

Практикум: бесконечные пределы
5 pages
+
Непрерывность функций
8 Lectures 25:16

Дается определение непрерывности функции в точке, на интервале, на сегменте. Приводится несколько примеров непрерывных и разрывных функций. Подчеркивается, что для непрерывности функции в точке необходимо выполнение трех условий: существование функции в точке, предела функции в этой точке, и их равенство.

Непрерывность функций
08:56

Практикум: непрерывность функций
3 pages

Приводится несколько примеров разрывных функций и дается классификация точек разрыва: устранимые разрывы, разрывы 1-го и 2-го рода (в англоязычной литературе – removable, jump, infinite, essential).

Классификация точек разрыва
07:10

Практикум: классификация точек разрыва
5 pages

Доказывается теорема о непрерывности функции, дифференцируемой на интервале. Приводится пример неверности обратного утверждения.
Связь дифференцируемости и непрерывности
05:15

Практикум: связь дифференцируемости и непрерывности
2 pages

Обсуждается несколько примеров непрерывных и разрывных функций. Решаются типовые задачи, связанные с непрерывностью и классификацией точек разрыва.

Непрерывность: примеры
03:55

Практикум: примеры задач на непрерывность функций
3 pages
+
Правила дифференцирования
10 Lectures 18:37

Лекция посвящена простейшим правилам: вычисление производной функции-константы, произведения функции на константу, а также суммы и разности двух функций

Простейшие правила дифференцирования
04:16

Практикум: простейшие правила дифференцирования
1 page

При помощи определения производной функции выводятся формулы дифференцирования произведения и отношения двух функций.

Дифференцирование произведения и отношения
03:07

Практикум: дифференцирование произведения и отношения
1 page

Пользуясь выведенными простейшими правилами дифференцирования, несложно получить формулы для вычисления производной степенной функции (с положительным и отрицательным целым показателем степени), а также полиномов.
Производная полинома
04:29

Практикум: дифференцирование полиномов
1 page

Рассматривается вопрос вычисления производных базовых тригонометрических функций (sin, cos). При помощи полученных результатов вычисляются производная тангенса.

Производные тригонометрических функций изводные тригонометрических функций
03:43

Практикум: дифференцирование тригонометрических функций
1 page

Несколько примеров вычисления производных на основе доказанных правил дифференцирования (полинома, произведения, отношения, тригонометрических функций)

Правила дифференцирования: Примеры
03:02

Практикум: примеры дифференцирования
2 pages
+
Дифференцирование сложных и неявных функций
8 Lectures 21:03
Рассматривается вычисление производной сложной функций, называемое в англоязычной литературе "chain rule" ("правило цепочки"). Приводится несколько примеров
Дифференцирование сложных функций
05:28

Практикум: дифференцирование сложной функции
1 page

Вводится понятие второй производной функции (как производной от ее первой производной). Аналогично, определяются и производные высших порядков (3-я, 4-я и т.д.). Обсуждается графический смысл 2-й производной (связь с выпуклостью графика

Вторая производная. Производные высших порядков
04:07

Практикум: вторая производная. Производные высших порядков
1 page

Приводится несколько примеров на применение правила дифференцирования сложной функции и вычисления производных высших порядков. В частности, рассматриваются задачи на дифференцирование тригонометрических функций и физические примеры вычисления скорости и ускорения.
Дифференцирование сложной функции: Примеры
05:16

Практикум: дифференцирование сложной функции - примеры
2 pages

Вводится понятие неявной функции и основная идея вычисления производной неявной функции. В качестве примера неявной функции приводится петля Декарта x^3 + y^3 = 3axy.
Дифференцирование неявной функции
06:12

Практикум: дифференцирование неявной функции
2 pages
+
Дифференцирование различных функций
8 Lectures 18:37

Рассматривается задача вычисления производной показательной функции f(x)=ax. Отыскивается значение показателя a=e=2.7, при котором производная равна самой функции f(x)=f’(x)=ex. Обсуждается другой вид определения числа e (через соответствующий предел).

Экспоненциальная функция
06:20

Практикум: производная экспоненциальной функции
2 pages

На основе свойств производной экспоненциальной функции решается задача дифференцирования показательной функции f(x)=ax с произвольным показателем a.

Дифференцирование показательной функции
03:42

Практикум: дифференцирование показательной функции
2 pages

Лекция посвящена дифференцированию функций, образованных от экспоненциальной: логарифмических и гиперболических. Вводятся понятия натурального логарифма, sinh, cosh, th. Вычисляется производная обратной функции.

Дифференцирование логарифма и гиперболических функций
04:22

Практикум: дифференцирование логарифма и гиперболических функций
2 pages

Рассматриваются несколько примеров вычисления производных некоторых комбинаций экспоненциальной, логарифмической и гиперболических функций.
Примеры вычисления производных
04:13

Практикум: дифференцирование - примеры
2 pages
+
Аппроксимация функций
8 Lectures 21:15
На основе определения производной решается задача приближения (или, по-другому, аппроксимации) функции f(x) линейной функцией y=ax+b в точке. В качестве прямой линии, приближающей в точке х=а график f(x) берется касательная к графику f(x) в точке а. На нескольких примерах исследуется, насколько близко линейное приближение к функции f(x).
Линейная аппроксимация
04:27

Практикум: линейная аппроксимация
1 page

Качественно рассматривается более общая задача - приближение функции f(x) в некоторой точке а степенным рядом. Приводится несколько примеров и оцениваются погрешности.

О разложении функции в ряд
05:54

Практикум: о разложении функции в ряд
2 pages

Рассматривается задача аппроксимации функции f(x) квадратичной функцией y=ax2+bх+с в точке а. Устанавливается связь между коэффициентами a, b, c и значениями первой и второй производной.
Квадратичная аппроксимация
05:47

Практикум: квадратичная аппроксимация
2 pages

Рассматривается разностное вычисление производной функции в точке при помощи линейной аппроксимации. Анализируются сопутствующие ошибки округления. Аналогично строится разностное выражение для 2-й производной.
Численное дифференцирование
05:07

Практикум: численное дифференцирование
2 pages
+
Исследование графиков функций
8 Lectures 22:40
Лекция посвящена исследованию графиков функций на монотонность и отыскание локальных максимума и минимума, выпуклости и точек перегиба графика.
Максимум и минимум функции
06:23

Практикум: максимум и минимум функции
1 page

Устанавливается связь точек экстремума функции f(x) с поведением ее 1-й производной f'(х). Функция f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке a, если в этой точке f'(a)=0.
Связь экстремума с 1-й производной
06:58

Практикум: связь экстремума с 1-й производной
2 pages

Обсуждается теорема о наибольшем значении (EVT, теорема Вейерштрасса), говорящая об ограниченности непрерывной функции на сегменте (закрытом интервале) и о достижении функцией наибольшего (и наименьшего) значения на этом сегменте.

Теорема о наибольшем значении
03:55

Практикум: теорема о наибольшем значении
2 pages

Рассматривается связь поведения 2-й производной функции f''(х) с выпуклостью графика f(x). Показывается, что f''(х)=0 в точках перегиба функции. Устанавливается критерий отыскания точек максимума и минимума функции по значениям первой и второй производной f' (a) и f''(a).
Связь особых точек со 2-й производной
05:24

Практикум: связь особых точек со 2-й производной
2 pages
+
Теоремы о функциях, непрерывных на интервале
8 Lectures 24:23
Обсуждается теорема Ролля, говорящая о том, что производная функции f(x), непрерывной и дифференцируемой на закрытом интервале (сегменте [a,b]), хотя бы один раз обращается в ноль внутри сегмента при условии f(a)=f(b).
Теорема Ролля
05:18

Практикум: теорема Ролля
3 pages

Лекция посвящена теореме Вейерштрасса о среднем значении (mean value theorem). Она утверждает, что для функции f(x), непрерывной и дифференцируемой на сегменте [a,b], в некоторой точке сегмента выполнено соотношение: f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
Теорема о среднем значении (MVT)
07:01

Практикум: теорема о среднем значении (MVT)
3 pages

Лекция резюмирует основные шаги исследования графика функции: 1. Поиск особых точек и значения функции в особых точках; 2. Исследование знака 1-й производной f'(х) между особыми точках. 3. Отыскание нулей функции f(x); 4. Поведение функции f(x) на бесконечности; 5. Поведение функции f(x) вблизи точек, в которых она не определена.
Особые точки функции
05:41

Практикум: собые точки функции
2 pages

В качестве иллюстрации приводится полное исследование функции (на примере полинома): отыскание нулей и особых точек, для которых затем диагностируется достижение максимума и минимума (по значениям первой и второй производной).

Пример: полное исследование полиномиальной функции
06:23

Практикум: полное исследование полиномиальной функции
1 page
6 More Sections
About the Instructor
Dmitri Kiryanov
5.0 Average rating
23 Reviews
928 Students
1 Course

Graduated from Moscow University (MSU) in 1993 and received PhD in 1997, worked as a researcher at the Moscow University (Dept. of Physics, 1993-2004), Keldysh Inst. of Applied Maths, Russian Academy of Sciences (2004-2013).

Mathcad professional (20+ years experience) : 5+ books about Mathcad (2 in US), beta tester of last 5-7 versions of Mathcad (Mathsoft, PTC). Sell and support PTC Mathcad, Windchill Quality Solutions (Relex) and ThingWorx (IoT solution) in Russian PTC reseller.

Founder of the "School of Engineers" (2015) and Polybook Multimedia Ltd (2005).